Site Descartes et les Mathématiques

Intersection inaccessible - Douze solutions

Construction d'une droite passant par un point et l'intersection de deux autres droites sans utiliser cette intersection impossible.

Détermination de la droite passant par un point de la page et par l'intersection inaccessible

Deux droites concourantes se coupent en un point situé hors de la feuille (hors de l'écran). Par un point du plan, situé sur la feuille hors des droites, on demande de tracer la droite concourante avec ces deux droites sans utiliser ce point inaccessible.

Vouloir réaliser ces constructions à la règle seule n'est pas un caprice de mathématicien. Le contexte militaire de la géométrie du XIX^e siècle impose ces contraintes lorsqu'il est trop dangereux de s'approcher de l'ennemi. Il interdit aussi l'usage du compas, car est impossible de réaliser des mesures sur le champ de bataille.

EXPRIME : EXpérimenter des PRoblèmes Innovants en Mathématiques à l'École

Une situation à mettre en œuvre de la quatrième à la terminale, en deux à trois heures, suivant les niveaux et les objectifs.

Ce problème est classique et remonte sans doute à plusieurs siècles : ce qui est innovant est d'accepter plusieurs solutions sans aucun dogmatisme.
Ce problème est projectif et les solutions à la règle seule sont les plus élégantes.
Mais il peut aussi se résoudre dans un cadre affine avec translation et parallélogramme.
Un cadre euclidien est plus tiré par les cheveux, mais il est possible d'utiliser angles droits, orthocentre et bissectrices et pourquoi pas des pliages.

La grande supériorité de GéoPlan sur beaucoup de logiciels de géométrie est qu'il permet de concevoir des objets sans les visualiser.

Par contre avec Cabri, on devra faire des zooms arrière jusqu'à trouver le point et revenir à la situation d'origine par des zooms avant.

Constructions à la règle

Deux droites (d) et (d’) concourantes se coupent en un point I situé hors de la feuille, M étant un point du plan, tracer la droite (IM).

Avec GéoPlan, il est possible de créer le point I, hors de l'écran, et de tracer la droite (IM).

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1. Figure de Desargues

Ce problème de géométrie projective doit se traiter de préférence en utilisant la règle seule :

Effectuer les constructions suivantes en veillant à ce que les droites se coupent à l'intérieur de la feuille :

Placer deux points A et B sur (d), deux points A’ et B’ sur (d’) ; et un point Q sur la droite (AM).
Les droites (AA’) et (BB’) se coupent en P, la droite (MA’) coupe (PQ) en R.
Les droites (QB) et (RB’) se coupent en M₁. La droite (MM₁) passe par I.

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Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan

La démonstration « par le relief » est facile en imaginant les deux triangles QAB et RA’B’ comme la représentation de deux triangles de l'espace non situés dans le même plan. Le point P est alors le centre d'une perspective transformant QAB en RA’B’.
Les plans (QAB) et (RA’B’) se coupent suivant une droite (d). Les droites (QA) et (RA’) se coupent en un point M qui est donc situé sur (d). De même, les points M₁ et I sont situés sur (d). La droite (MM₁), droite d'intersection des deux plans, passe par I.

Remarque : dans cette démonstration on utilise le fait que deux droites de l'espace projectif se coupent que si elles sont coplanaires, le point d'intersection étant un point à l'infini lorsque les deux droites sont parallèles. Le point M existe, car les droites (QA) et (RA’) sont situés dans le plan (PAQ). Les points M₁ et I existent également.

Figure reprise dans : joindre deux points d'une droite avec une règle trop courte

Sommaire

2. Deuxième figure de Desargues

Cas où les droites (AA’) et (BB’) sont parallèles.

Dans le plan projectif, la droite (PQ) est alors la droite de l'infini.

Placer deux points A et B sur (d) et un point A’ sur (d’).
La parallèle à (AA’) passant par B coupe (d’) en B’.
Les parallèles à (AM) et (A’M) passant par B et B’ se coupent en M₁.

La droite (MM₁), qui passe par I, est solution.

Remarques : cette solution utilise la forme affine du théorème de Desargues. Elle correspond au cas la première figure de Desargues où la droite (PQ) est rejetée à l'infini.
On utilise le triangle AA’M₁, semblable au triangle AA’M, image par une homothétie de centre I transformant une sécante (AA’) à (d) et (d’) en une sécante (BB’) parallèle.

La construction est toujours possible et peut être réalisée avec une équerre ou avec la règle à bords parallèles.

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Bibliographie : Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001

3. Construction à la règle seule, par polaires réciproques

D'après Jean-Henri Lambert (1728-1777)

Solution historique, maintenant hors programme, avec des faisceaux harmoniques de droites pour ma génération de retraités nostalgiques.

Les origines de cette construction se trouvent dans la préoccupation des peintres de tracer des parallèles en perspective sans sortir du tableau.

M entre (d) et (d’ ) Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_polaire.g2w

M à l'extérieur de (d) et (d’) Télécharger la figure GéoPlan droite_mi_polaire2.g2w

Construire un point P de la polaire de M par rapport à (d) et (d’) :

Placer deux points A et B sur (d). La droite (MA) coupe (d’) en A’ et la droite (MB) coupe (d’) en B’.
Le point P intersection de (AB’) et (A’B) est un point de la polaire de M.

Construire la polaire de P par rapport à (d) et (d’) :

Placer un point C, distinct de A et B, sur (d). La droite (MC) coupe (d’) en C’.
Le point M₁ intersection de (A’C) et (BC’) est un point de la polaire de P.
La droite (MM₁), polaire de P, passe par I.

4. Construction à la règle seule d'Ocagne

Placer deux points A et B sur (d), deux points A’ et B’ sur (d’).

Les droites (MA) et (BB’) se coupent en C, les droites (MB’) et (AA’) se coupent en C’.

Les droites (BC’) et (A’C) se coupent en M₁. La droite (MM₁) passe par I.

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5. Avec un cercle auxiliaire - Droite de Pascal

La 16^e solution - Claude Tisseron
Bulletin APMEP n^o 356 - décembre 1986

Un cercle (c) coupe la droite (d) aux points A et B, la droite (d’) aux points A’ et B’.

La droite (MA) recoupe le cercle en C, la droite (MB’) recoupe le cercle en C’.

Les droites (BC’) et (A’C) se coupent en M₁. La droite (MM₁) passe par I.

Remarque : ce résultat est une conséquence du théorème de Pascal ; le point I est aligné avec les points M et M₁ sur la droite de Pascal (MM₁) de l'hexagramme ABC’B’A’C.

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Sommaire

Géométrie affine : parallélogrammes ou homothétie

Des propositions d’élèves extraites de l'ouvrage ”problème ouvert et situation-problème” de l'IREM de Lyon.

6. Parallélogramme de sommet M

Tracer la droite (MI) cherchée comme diagonale d'un parallélogramme IJMK dont les côtés sont portés par (d) et (d’).

Construction

Tracer les parallèles à (d) et (d’) qui passent par M.

La parallèle à (d) coupe (d’) en K ; la parallèle à (d’) coupe (d) en J.

IJMK est un parallélogramme.

Rechercher le milieu M₁ de la diagonale [JK].

La solution est la droite (MM₁) passant par M et par le milieu M₁ de [JK], deuxième diagonale du parallélogramme.

La construction est possible si les points J et K sont situés dans la feuille.

Télécharger la figure GéoPlan para_sommet_M.g2w

Voir : diagonale d'un parallélogramme sur une feuille trop petite

7. Parallélogramme de centre M

Une variante peut être de tracer la droite (MI) cherchée comme diagonale d'un parallélogramme IJM₁K de centre M dont les côtés sont portés par (d) et (d’).

Construction

Pour cela, il suffit de construire les droites symétriques de (d) et (d’) par rapport à M.

L'intersection M₁ de ces deux nouvelles droites (si elle existe sur la page) fournit un troisième point de la droite cherchée.

On obtient un parallélogramme IJM₁K dont la diagonale (M₁M) est la droite cherchée.

La construction est possible si les points J, K et M₁ sont situés dans la feuille.

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Sommaire

8. Homothétie de rapport

a. Utiliser une homothétie de centre M transformant (d) et (d’) pour obtenir un troisième point M₁ de la droite cherchée.

Construction

Tracer la perpendiculaire à (d) qui passe par M, elle coupe (d) en J.
Tracer la perpendiculaire à (d’) qui passe par M, elle coupe (d’) en K.

Tracer la parallèle à (d) qui passe par le milieu de [MJ].
Tracer la parallèle à (d’) qui passe par le milieu de [MK].
Ce sont les images de (d) et (d’) par l'homothétie de centre M et rapport .

Ces deux parallèles se coupent en M₁, image de l'intersection I par l'homothétie.
Le centre M, le point I et son image M₁ sont alignés.
La droite (MM₁) passe par I et est solution.

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b. Utiliser une homothétie de centre O, situé sur (d’), transformant (d) pour obtenir une droite parallèle à la droite cherchée.

Construction

Tracer la perpendiculaire à (d) qui passe par M, elle coupe (d) en H et (d’) en O.

Soit M’ le milieu de [OM] et H’ le milieu de [OH]. M’ et H’ sont les images de M et H par l'homothétie de centre O et de rapport .

L'image de (d) est la parallèle à (d) passant par H’. Elle coupe (d’) en I’, image de I par l'homothétie.
La parallèle passant par M à la droite (M’I’) est son image réciproque. Elle passe par I.

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Et si l'homothétie de rapport ne suffit pas, on peut utiliser une homothétie de rapport 1/3, 1/4, 1/5… pour placer le point M₁ ou le point I’ dans la feuille.

9. Translation et parallélogramme

Tracer la droite (MI) cherchée comme quatrième côté d'un parallélogramme I’M’MI.

Construction

Du côté de I, notons (D) le bord de la feuille (ou si M est au-delà du premier tiers de la feuille, une parallèle au bord plus près de M),
soit (D’) la parallèle à (D) passant par M.
Le point A est la projection orthogonale de M sur (D).

Symétries

Soit I₁ le symétrique de I par rapport à (D). On peut tracer I₁ en remarquant que les droites (d₁) et (d₂), symétriques de (d) et (d’) par rapport à D, se coupent en I₁.
À l'intérieur de la feuille, pour tracer la droite (d₁), symétrique de (d), noter que cette droite passe par le point B intersection de (D) et (d), et utiliser le fait que (d₁) est aussi symétrique de (d) par rapport à la perpendiculaire à (D) en B.
De même (d₂), symétrique de (d’), est symétrique de (d’) par rapport à la perpendiculaire à (D) en C.

Soit I’ le symétrique de I₁ par rapport à (D’).
Le point I’ est l'image de I par la composée des symétries par rapport à
(D) et (D’), I’ est l'image de I par la translation de vecteur 2 .

Parallélogramme

On construit alors l'image M’ de M par cette translation : = = 2 .

II’M’M est alors un parallélogramme.
Pour tracer (IM) il suffit donc de mener, par le point M, la parallèle à la droite (I’M’).

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Sommaire

Utilisation de droites remarquables du triangle

10. Quadrangle orthocentrique : M orthocentre d'un triangle

Tracer la droite (MI) cherchée comme troisième hauteur (C’M) d'un triangle MAB ayant pour orthocentre I.

Construction

Tracer la perpendiculaire à (d’) passant par M la coupant en A et coupant (d’) en A’.

Tracer la perpendiculaire à (d) passant par M la coupant en B et coupant (d) en B’.

(MA) et (MB) sont deux hauteurs du triangle ABI et M est l'orthocentre de ce triangle.

La droite (MI), troisième hauteur de ce triangle, est perpendiculaire au côté (AB).

Tracer la perpendiculaire issue de M à (AB) qui est la solution du problème.

MABI est un quadrangle orthocentrique : I est l'orthocentre de MAB.

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11. Quadrangle orthocentrique : M sommet d'un triangle d'orthocentre I

Classe de première L

Trouver un triangle MBH, de sommet le point de concours I, tel que (MI) soit une hauteur du triangle

Construction

Tracer la perpendiculaire à (d) passant par M la coupant en A et coupant (d’) en H.
Tracer la perpendiculaire à (d’) passant par M qui coupe (d) en B.
Le point H est l'orthocentre du triangle MBI.

La droite cherchée est perpendiculaire issue de M à la hauteur (BH) : le côté (MI) du triangle.

MBIH est un quadrangle orthocentrique : I est l'orthocentre de MBH

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12. Bissectrices : M et I centres des cercles inscrit ou exinscrits d'un triangle

On peut aussi considérer un triangle ABC avec A sur (d), B sur (d’) et tel que (d) et (d’) soient deux bissectrices intérieures ou extérieures du triangle ABC. Alors la droite cherchée sera une bissectrice de l'angle ACB. M et I sont alors les centres des cercles inscrit ou exinscrits du triangle ABC.

Construction

Soit A et B les projections orthogonales de M sur (d) et (d’).
Construire le point C tel que (AM) et (BM) soient des bissectrices du triangle ABC.

Pour cela, soit C’ la projection orthogonale de M sur (AB) et (c) le cercle de centre M passant par C’.

Si M est entre les droites (d) et (d’), (c) est inscrit dans le triangle ABC.
Si M est à l'extérieur des droites (d) et (d’), le cercle (c) est exinscrit dans l'angle ACB.

Soit B’ et A’ les symétriques de C’ par rapport à (AM) et (BM). Les droites (AB’) et (BA’), tangentes au cercle (c), sont les côtés du triangle. Leur point d'intersection est le sommet C.

La droite (CM) est bissectrice de ACB.
Elle est concourante en I avec les deux autres bissectrices (d) et (d’).

Dans le cas de la figure ci-dessus,à gauche, M et I sont situés sur une bissectrice intérieure. I est le centre du cercle exinscrit dans l'angle ACB.
Dans la figure de droite, M est à l'extérieur des droites (d) et (d’), M et I sont situés sur une bissectrice extérieure. Ce sont les centres de cercles exinscrits dans le triangle ABC.

Télécharger les figures GéoPlan droite_mi_bissect.g2w, droite_mi_bissect2.g2w

Voir une douzième solution : tracé par pliage (technique de la bissectrice)

Bibliographie

On retrouvera six des solutions, plus encore sept autres, dans :

Le plaisir de chercher, la joie de trouver - François Padilla - Jean Aymes - Bulletin APMEP n^o 350 - septembre 1985
À propos d'un problème de géométrie - Henri Fraysse -
Bulletin APMEP n^o 352 - février 1986

Sommaire 1. Figure de Desargues 2. Deuxième figure de Desargues 3. Construction par polaires réciproques 4. Construction à la règle seule d'Ocagne 5. Avec un cercle auxiliaire 6. Parallélogramme de sommet M 7. Parallélogramme de centre M 8. Homothétie de rapport 1/2 9. Translation et parallélogramme 10. Quadrangle orthocentrique :         M orthocentre d'un triangle 11. M sommet d'un triangle d'orthocentre I 12. Bissectrices	Voir : point inaccessible   Site « Descartes et les Mathématiques » Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr   Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.
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