René DescartesDescartes et les Mathématiques

Quadriques et GéoSpace

Surfaces dans l'espace, étudiées au lycée en spécialité TS.

Sommaire

1. Solides de révolution engendrés par des cercles
2. Hyperboloïde
3. Paraboloïde à selle

4. Paraboloïde hyperbolique d'équation
      x2 + y + z = 0
5. Surface d'équation z = rac(xy)

Faire de la
géométrie dynamique

Annales
bac S - ES

Derive : Paraboloïde-
Hyperboloïde

Terminale S
Volume d'un tronc de cylindre couché

Les quadriques de l'espace sont des surfaces algébriques de degré 2. Elles possèdent beaucoup de propriétés analogues à celle des coniques.

L'équation réduite permet de classifier ces surfaces avec les paramètres a, b, c :

Ellipsoïde : x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1.
Paraboloïde elliptique (bol) : z = x2/a2 + y2/b2.
Paraboloïde hyperbolique (à selle) : z = x2/a2y2/b2 ; par un changement de variable, l'équation se transforme en z = xy.
Hyperboloïde à une nappe : x2/a2 + y2/b2z2/c2 = 1.
Hyperboloïde à deux nappes : x2/a2 + y2/b2z2/c2 + 1 = 0.
Cône basé sur une ellipse : x2/a2 + y2/b2z2/c2 = 0.

Toutes ces surfaces, sauf le paraboloïde hyperbolique, seront étudiées ici comme engendrées par des solides de révolution avec a = b.

Le programme de spécialité de terminale S propose l'étude des paraboloïdes, bol et à selle, d'équations z = x2 + y2 et z = xy.
Les autres surfaces sont données à titre d'activités ou d'exercices.

1. Solides de révolution engendrés par des cercles

Paraboloïde elliptique (bol)

Le paraboloïde de révolution est la forme prise par la surface d'un liquide placé dans un cylindre d'axe vertical et animé d'une rotation rapide.

Conformément au programme de S, étudions le solide de révolution d'équation z = x2 + y2.

Pour une valeur positive fixée z0, x2 + y2 = z0 est l'équation d'un cercle c0 de centre I0(0 ; 0 ; z0) et de rayon rac(z0), contenu dans le plan P0 d'équation z = z0.

Quand on fait varier z0, on obtient une succession de cercles qui « s'empilent » et engendrent ainsi une surface de révolution autour de l'axe oz.

Avec GéoSpace passer en mode Trace (icône ci-contre de la barre d'outils)

Icône trace

Faire varier z0, avec les flèches du clavier pour construire le paraboloïde.
Modifier éventuellement le pas avec les touches + ou -.

 

Sortir du « mode trace » (bouton ci-contre de la barre d'outils) pour toute autre action sur la figure.
Le lieu de points s'efface.

Sortir du « mode trace »

 

geometrie dans l'espace - paraboloide elliptique engendre par des cercles - copyright Patrice Debart 2003

Voici le programme GéoSpace permettant d'engendrer le paraboloïde de gauche par des cercles :

z0 réel libre de [0,5]
   Objet libre z0, paramètre: 3.6
P0 plan d'équation Z=z0 dans le repère Rxyz
I0 point de coordonnées (0,0,z0) dans le repère Rxyz
c0 cercle de centre I0 et de rayon rac(z0) dans le plan P0 (unité Uxyz)

Objet libre actif au clavier: z0
Sélection pour trace: c0
Noms des points non affichés

Il est aussi possible, comme ici à droite, de générer cette figure par des paraboles isométriques contenues dans les plans P0 d'équation X=x0, parallèles au plan yoz.

La parabole a pour équation z = y2 + x0x2.
Dans GéoSpace Il faut construire les trois points I0(x0,0,0) ; A(x0,1,0) ; B(x0,0,1) formant un repère I0AB du plan P0.
Dans ce repère la parabole a pour équation Y = X2 + x02.

Commande GéoSpace

Déplacer le cercle avec les flèches du clavier,
Touche T : Activer le mode Trace,
touche S : Sortie du mode trace.
touche C : cacher/monter le Cône de révolution asymptote.

geometrie dans l'espace - paraboloide elliptique engendre par des paraboles - copyright Patrice Debart 2003

g3w Génération par des cercles ; télécharger la figure GéoSpace parabolo.g3w
     Génération par des paraboles ; télécharger la figure GéoSpace parabol3.g3w

Ellipsoïde

geometrie dans l'espace - ellipsoide de revolution - copyright Patrice Debart 2003 C'est une surface de l'espace, d'équation de la forme :

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1.

Choisissons a = b = 1 et c = 2 pour étudier l'ellipsoïde de révolution d'équation :

4 x2 + 4 y2 + z2 = 4.

Dans le programme GéoSpace précédent modifier les deux lignes suivantes :

z0 réel libre de [-2,2]
…
c0 cercle de centre I0 et de rayon rac(4-z0^2)/2 dans le plan P0 (unité Uxyz)

g3w Télécharger la figure GéoSpace ellipsoi.g3w

Cône

geometrie dans l'espace - cone engendre par des cercles - copyright Patrice Debart 2003

C'est une surface de l'espace, d'équation de la forme :

x2/a2 + y2/b2 = z2/c2.

Choisissons a = b = c = 1 pour étudier le cône de révolution d'équation :

x2 + y2 = z2.

Dans le programme GéoSpace modifier les deux lignes suivantes :

z0 réel libre de [-2,2]
…
c0 cercle de centre I0 et de rayon abs(z0) dans le plan P0 (unité Uxyz)

g3w Télécharger la figure GéoSpace cone_rev.g3w

2. Hyperboloïde

Ce sont des surfaces de l'espace du type :

Hyperboloïde à une nappe : x2/a2 + y2/b2z2/c2 = 1 ; avec le cône asymptote interne d'équation x2/a2 + y2/b2z2/c2 = 0.
Hyperboloïde à deux nappes : x2/a2 + y2/b2z2/c2 + 1 = 0 ; avec le cône asymptote « externe » d'équation x2/a2 + y2/b2z2/c2 = 0.

Choisissons a = b = 1 et c = 1 ou c = −1 pour étudier deux hyperboloïdes de révolution avec leurs cônes asymptotes d'équation x2 + y2 = z2.

2.a. Génération par des cercles

À une nappe

geometrie dans l'espace - hyperboloide a une nappe - copyright Patrice Debart 2003

Étude du solide de révolution d'équation :

x2 + y2 = z2 + 1.

g3w Télécharger la figure GéoSpace hyper_1n.g3w

À deux nappes

geometrie dans l'espace - hyperboloide a deux nappes - copyright Patrice Debart 2003

Étude du solide de révolution d'équation :

x2 + y2 = z2 – 1.

En bleu le cône asymptote.

g3w Télécharger la figure GéoSpace hyper_2n.g3w

2.b. Génération de l'hyperboloïde à une nappe par des droites

chateau d'eau des Pialoux - 26600 la Roche-de-Glun - copyright Patrice Debart 2003

On se place dans le plan d'équation x = 1. L'intersection de l'hyperboloïde avec ce plan vérifie
y2z2 = 0, soit en factorisant (y – z) (y + z) = 0.

L'intersection est donc la réunion de deux droites génératrices :
(d) de couple d'équations {x = 1 ; y – z = 0} et (d’) de couple d'équations {x = 1 ; y + z = 0}.

Toute rotation d'axe Oz transforme les droites (d) et (d’) en deux génératrices de l'hyperboloïde.

L'hyperboloïde est une surface réglée, surface obtenue comme réunion d'une famille de droites engendrées par un point se déplaçant sur une courbe (ici un cercle).

Représentation dans le cube [–3, 3]3 avec GéoSpace :

La droite (d) passe le point A(1, 3, 3) situé sur le cercle c0 du plan horizontal d'équation z = 3
et le point B(1, –3, –3) sur le cercle (c1) du plan horizontal d'équation z = −3.

Une rotation d'axe Oz, d'angle t radians, transforme A en C et B en D. La droite (CD) est une génératrice du solide.

Château d'eau des Pialoux (26 La Roche-de-Glun) : les directrices renforcent la solidité de l'édifice et permettent une construction plus économique avec des fers à béton rectilignes.

 

Une génératrice

geometrie dans l'espace - generatrice d'un hyperboloide - copyright Patrice Debart 2003

Trace des segments de génératrice [CD].

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace hyp_1n_2.g3w

Deux génératrices

geometrie dans l'espace - hyperboloide a deux generatrices - copyright Patrice Debart 2003

La droite (d’) passe par les points A’(1, –3, 3) et B’(1, 3, –3).

Une rotation d'axe Oz, d'angle t radians, transforme A’ en E et B’ en F. La droite (EF) est aussi une génératrice du solide.

g3w Télécharger la figure GéoSpace hyp_1n_3.g3w

geometrie dans l'espace - hyperboloide - Sagrada-Familia - copyright Patrice Debart 2003

Barcelone : Sagrada-Familia

geometrie dans l'espace - hyperboloide - Sagrada-Familia - copyright Patrice Debart 2003

 

geometrie dans l'espace - cheminee de la centrale de Cruas - copyright Patrice Debart 2003

Remarque 1 :

pour l'hyperboloïde à une nappe, l'existence de ces génératrices assure en architecture la rigidité du solide permettant d'utiliser cette forme pour des châteaux d'eau ou des tours de refroidissement.

Remarque 2 :

dans le cas général avec le type x2/a2 + y2/b2z2/c2 = 1
on se ramène à un solide de révolution x2/a2 + y2/a2z2/c2 = 1 par une affinité de plan Oxz et de rapport b/a puis on fait une étude similaire en étudiant l'intersection avec le plan d'équation x = a2.

3. Paraboloïde à selle : paraboloïde hyperbolique d'équation z = xy

Exemple de surface, du programme de spécialité de terminale S, qui n'est pas de révolution.

Génération par des hyperboles contenues dans des plans horizontaux

L'intersection de la surface avec le plan horizontal passant par l'origine O est la réunion des deux axes (Ox) et (Oy).
Pour z0 ≠0, dans le plan P0 d'équation z = z0, construire une hyperbole (h0) d'équation xy = z0, puis avec le mode trace de GéoSpace, déplacer z0 de –1 à 5.

geometrie dans l'espace - paraboloide a selle - copyright Patrice Debart 2003

g3w Télécharger la figure GéoSpace par_xy.g3w

Exemples de représentations dans le cube [–5, 5]3

Il est conventionnel de représenter les surfaces à l'intérieur d'un cube. Ici on choisit le demi-côté a = 5.

Génération par des hyperboles contenues dans des plans horizontaux

Dans la figure ci-dessous, sont représentée les arcs d'hyperboles situées dans les plans d'équations z = z0 pour z0 variant de –5 à 5.

geometrie dans l'espace - paraboloide dans un cube - copyright Patrice Debart 2003

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace par_xy_3.g3w

Génération par des directrices contenues dans des plans parallèles au plan (yOz)

Sur l'hyperbole, située sur la face supérieure du cube, sont placés les points P(x, a/x, a) et R(– x, –a/x, a) et sur la face inférieure les points Q(x, –a/x, –a) et S(– x, a/x, –a).

Les segments [PQ] et [RS], sont inclus dans le paraboloïde.
Le segment [TU] sst aussi inclus dans la surface.
Il joint les points T(z/a, a, z) et U(z/a, –a, –z), situés dans les faces latérales du cube.

geometrie dans l'espace - paraboloide a selle dans un cube - copyright Patrice Debart 2003

g3w Télécharger les figures GéoSpace par_xy_7.g3w, par_xy_x0.g3w

Génération par des directrices contenues dans des plans parallèles au plan (xOz)

Remarque : on peut obtenir une trame dans l'autre sens en utilisant les segments [PS] et [RQ] et le segment qui joint les points de coordonnées (a, z/a, z) et (– a, z/a, –z).

g3w Télécharger les figures GéoSpace xy_8.g3w, par_xy_y0.g3w

Ci-dessous deux représentations permettant de visualiser les arcs d'hyperboles et les segments de droite contenus dans le paraboloïde.

geometrie dans l'espace - paraboloide inscrit dans un cube - copyright Patrice Debart 2003

g3w Télécharger les figures GéoSpace par_xy_4.g3w, par_xy_5.g3w

geometrie dans l'espace - paraboloide dans un cube - copyright Patrice Debart 2003

g3w Télécharger la figure GéoSpace par_xy_6.g3w

Génération par des paraboles contenues dans des plans verticaux

geometrie dans l'espace - paraboloide genere par des paraboles - copyright Patrice Debart 2003

L'intersection du paraboloïde avec des plans parallèles au plan d'équation x – y = 0 est une parabole.

La construction avec GéoSpace se fait dans un nouveau repère ayant pour axes horizontaux les bissectrices des axes (Ox) et (Oy).

Avec le changement de variables :

x = rac(2)/2(Y + X)
y = rac(2)/2(Y – X)

z = Z ;

Le paraboloïde d'équation z = xy, a pour équation dans le nouveau repère :
Z = (Y + X)(Y – X)/2 = (Y2 – X2)/2.

Pour un plan, ayant dans ce repère une équation de la forme X = X0, construire une parabole d'équation Z = (Y2 – X02)/2, puis avec le mode trace de GéoSpace, déplacer X0 de –5 à 3.

En raison de la parité de la fonction, on remarque que les plans d'équations X = 0 et Y = 0 sont plans de symétrie de la surface.

g3w Télécharger la figure GéoSpace par_xy_para.g3w

Génération du paraboloïde hyperbolique d'équation z = xy par des droites

Représentation dans le cube [–1, 1]3
L'intersection de la surface avec les faces latérales du cube est formée par quatre diagonales des faces de ce cube.
Les droites joignant les points de même abscisse, situés sur les diagonales opposées, sont des génératrices de la surface.

geometrie dans l'espace - paraboloide hyperbolique - copyright Patrice Debart 2003
geometrie dans l'espace - paraboloide hyperbolique - copyright Patrice Debart 2003
geometrie dans l'espace - paraboloide hyperbolique - copyright Patrice Debart 2003
geometrie dans l'espace - paraboloide hyperbolique - copyright Patrice Debart 2003

La recherche de l'intersection de la surface précédente, avec le plan d'équation x = 0, permet d'en déduire l'étude de la surface d'équation :

 

z

y =


 

x

g3w Télécharger la figure GéoSpace par_xy_2.g3w

Démonstration

geometrie dans l'espace - point d'un paraboloide comme intersection de 2 generatrices - copyright Patrice Debart 2003

Point R du paraboloïde hyperbolique, à l'intersection de deux génératrices

g3w Télécharger la figure GéoSpace par_xy_2_demo.g3w

Étude dans un cube ABCDEFGH de centre O, de côté de longueur 2.
Les sommets A(1, 1, 1) ; H(–1, 1, –1) ; C(–1, –1, 1) et F(1, –1, –1) sont des points de la surface S d'équation z = xy.

Étant donné deux nombres réels λ et µ, on considère les barycentres :
M barycentre de (A, λ) et (H, 1–λ) ;
N barycentre de (F, λ) et (C, 1–λ) ;
P barycentre de (A, µ) et (F,1–µ) ;
Q barycentre de (H, µ) et (C,1–µ).

Soit R le barycentre de (M,µ) et (N,1–µ).

Le point R est aussi le barycentre de (P, λ) (Q, 1–λ).

En effet d'après le théorème d'associativité, le barycentre de (A, λµ) ; (H, (1–λ)µ) ; (F, λ(1–µ)) et (C, (1–λ)(1–µ)) est d'une part le barycentre du barycentre partiel de (A, λµ) et (H, (1–λ)µ) soit le point M et d'autre part le barycentre partiel de (F, λ(1–µ)) et (C, (1–λ)(1–µ)) soit le point N.
C'est le barycentre de (M, µ) et (N, 1–µ), soit le point R.

De même, le barycentre de (A, λµ) ; (H, (1–λ)µ) ; (F, λ(1–µ)) et (C, (1–λ)(1–µ)) est d'une part le barycentre du barycentre partiel de (A, λµ) et (F, λ(1–µ)) soit le point P et d'autre part le barycentre partiel de (H, (1–λ)µ) et (C, (1–λ)(1–µ)) soit le point Q.
C'est le barycentre de (P, λ) et (Q, 1–λ), Ce barycentre est bien le point R.

Les droites (MN) et (PQ) sont donc concourantes en R.

Les points M, N, P et Q appartiennent à la surface S

M est le barycentre de (A, λ) et (H, 1–λ). La fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire : vect(HM) = λ vect(HA).
Avec les coordonnées M(x, y, z) ; A(1, 1,1) ; H(–1, 1, –1) et vect(HA)(2, 0, 2) ; on trouve le système d'équations :
x + 1 = 2 λ,
y – 1 = 0,
z + 1 = 2 λ.

Soit M(–1 + 2λ, 1, –1 + 2λ). Ces coordonnées vérifient l'équation xy = z de la quadrique S pour tout réel λ. La droite (AH) est tout entière contenue dans la surface S.

N est le barycentre de (F, λ) et (C, 1–λ).
Avec les coordonnées N(x, y, z) ; C(–1, –1, 1) ; F(1, –1, –1) et vect(CF)(2, 0, –2) ; la fonction vect(CN) = λ vect(CF) permet de trouver le système d'équations :
x + 1 = 2 λ,
y + 1 = 0,
z – 1 = –2 λ.

Soit N(–1 + 2λ, –1, 1 – 2λ). Ces coordonnées vérifient l'équation de S pour tout λ. La droite (CF) est contenue dans la surface S.

De même, pour tout réel µ, les coordonnées de P(1, 2µ – 1, 2µ –1) et Q(–1, 2µ – 1, 1 – 2µ) vérifient l'équation de S. Les droites (CF) et (FA) sont tout entières contenues dans la surface S.

Le point R est un point de la surface S

R est le barycentre de (M,µ) et (N,1–µ).
Avec les coordonnées R(x, y, z) ; M(–1 + 2λ, 1, –1 + 2λ) ; N(–1 + 2λ, –1, 1 – 2λ) et vect(NM)(0, 2, –2 + 4λ) ; la fonction vect(NR) = µ vect(NM) permet de trouver le système d'équations :
x + 1 – 2 λ = 0,
y + 1 = 2µ,
z – 1 + 2 λ = (–2 + 4λ)µ.

Soit R(–1 + 2λ, –1 + 2µ, 1 – 2λ – 2µ + 4λµ). Pour tout λ et tout µ, ces coordonnées vérifient l'équation de S et les droites (MN) et (PQ) sont contenues dans la surface. Les droites (MN) et (PQ) engendrent la surface S.

Réciproque

Réciproquement quel que soit le point R de la surface S, n'appartenant pas au cube, le plan (FCR) coupe la droite (AH) en M. La droite (MR) coupe (FC) en N. Le point R a pour abscisse µ dans le repère (N, vect(NM)).
De même, le plan (RHC) coupe (AF) en P et la droite (PR) coupe (HC) en Q. Le point R a pour abscisse λ dans le repère (Q, vect(DP)).
Les droites (MN) et (PQ) s'appuient sur les côtés du quadrilatère AHCF et sont entièrement contenues dans la surface S.

4. Paraboloïde hyperbolique d'équation x2 + y + z = 0

geometrie dans l'espace - paraboloide hyperbolique x² + y + z = 0 - copyright Patrice Debart 2003

Ci-contre à gauche, représentation dans le cube [–2,2]3.

g3w Télécharger la figure GéoSpace p_x2_y_z.g3w

 

geometrie dans l'espace - paraboloide hyperbolique z = y-x² - copyright Patrice Debart 2003La symétrie par rapport au plan d'équation y = 0 permet de créer la surface d'équation :

z = y – x2

que l'on visualise ci-contre à droite.

5. Surface d'équation z = rac(xy)

geometrie dans l'espace - surface d'equation z = rac(xy) - copyright Patrice Debart 2003

L'équation de cette surface peut aussi s'écrire sous la forme z2 = xy et z ≥ 0.

Représentation dans le cube [0,5]3

g3w Télécharger la figure GéoSpace p_rac_xy.g3w

Géométrie dans l'espace
en terminale S et ES

Similitude

Tétraèdre

GéoSpace
Fonctions

Table de matières

1. Solides de révolution engendrés par des cercles
2. Hyperboloïde
3. Paraboloïde à selle
4. Paraboloïde hyperbolique d'équation x2 + y + z = 0
5. Surface d'équation z = rac(xy)

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