Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesConstructions de géométrie, avec GéoPlan, sans utiliser un point situé hors de la page.
Sommaire1. Angle de deux droites |
Exercices de-ci, de-là :
Page no135, créée le 18/1/2007, mise à jour le 13/5/2011 | ||||
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Deux droites concourantes se coupent en un point situé hors de la feuille (hors de l'écran). On demande de faire les constructions suivantes sans utiliser ce point inaccessible.
Des situations à mettre en œuvre au collège en deux à trois heures suivant les niveaux et les objectifs.
La grande supériorité de GéoPlan sur beaucoup de logiciels de géométrie est qu'il permet de concevoir des objets sans les visualiser.
Par contre avec Cabri, on devra faire des zooms arrière jusqu'à trouver le point et revenir à la situation d'origine par des zooms avant.
Détermination de l'angle de deux droites avec la symétrie centrale accessible au collège dès la classe de cinquième.
Sachant que (d) et (d’) ne se coupent pas sur la feuille, peut-on déterminer l'angle des deux droites ?
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Construction Placer des points A et B sur (d), C et D sur (d’). La droite (AD’) est parallèle à (d’) et l'angle BÂD’ représente l'angle des droites (d) et (d’). En effet, les angles alternes-internes BÂD’ et AÎD, par rapport à la sécante (AI), sont égaux. |
Avec GéoPlan, taper S pour afficher la solution. Il est possible de créer le point I d'intersection : I point d'intersection des droites d et d' Af1 affichage d'une mesure (en degré) de l'angle AIC Taper A pour afficher l'angle des droites.
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Symétrie centrale en classe de cinquième
ABC est un triangle, mais le point C est en dehors de la feuille.
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 Placer deux points M sur (d) et P sur (d’), convenablement choisis, dont les images sont situées dans la feuille. Avec GéoPlan, il est possible de créer le point C troisième sommet du triangle et son symétrique C’. |
Classe de quatrième
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ABCD est un parallélogramme.
IndicationsTracer la diagonale [AC] et son milieu I.
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Plus difficileABCD est un parallélogramme, D est une intersection inaccessible. Tracer la diagonale [BD] et les côtés [CD] et [AD], sans utiliser le point D.  Comme ci-contre, tracer [AC], son milieu I et la diagonale [BD].
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Deux droites (d) et (d’) concourantes se coupent en un point I situé hors de la feuille, construire une bissectrice de (d, d’).
Placer deux points A sur (d) et A’ sur (d’).
Les bissectrices du triangle AA’I, issues de A et A’ se coupent en P, centre du cercle inscrit.
Les bissectrices extérieures du triangle AA’I, issues de A et A’ se coupent en Q, centre d'un cercle exinscrit.
La droite (PQ), troisième bissectrice intérieure du triangle AA’I est la bissectrice de (d) et (d’) cherchée.
Le tracé est possible lorsque les points P et Q sont situés sur la feuille.
Bibliographie : Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001
Remarque technique :
GéoPlan permet uniquement de tracer les bissectrices d'un angle défini par trois points. Pour cela, on place les points B et C sur sur (d), puis B’ et C’ sur (d’) et on utilise des instructions comme :
d1 bissectrice de l'angle A’AB
Télécharger la figure GéoPlan bissectrice.g2w
Tracer deux paires de droites parallèles aux droites données (d) et (d’) situées à des distances égales de ces mêmes droites.
Construction
Cette construction se fait facilement avec une règle à bords parallèles de taille convenable.
Dans le réseau de losanges ainsi formé, on place les sommets opposés A et B d'un losange.
La droite (AB) est la bissectrice cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan bissectrice_para.g2w
(d) et (d’) étant inscrites sur une feuille, amener (d) en coïncidence avec (d’), la trace du pli donne la bissectrice.
Droite passant par un point M de la page et par l'intersection inaccessible
Les pliages permettent de résoudre le problème dans le cas où M est entre (d) et (d’) :
Le pliage donne une droite (d3). Si M est entre (d) et (d3) on recommence en amenant (d) sur (d3) pour obtenir un pli (d4), et ainsi de suite en rabattant l'une sur l'autre les deux droites entre lesquelles le point M est situé… Au bout de 5 ou 6 pliages maxima, la position de droite (IM) sera connue au millimètre près.
Classe de sixième
Tracés à la règle et à l'équerre.
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Tracer la perpendiculaire à une droite lorsque le point concours n'est pas sur la feuille.
Tracer la droite passant par A perpendiculaire à la droite (PQ). Avec GéoPlan, seuls les tracés à l'intérieur de l'écran sont admis et le zoom est interdit.
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Solution à la règle et à l'équerre
Placer l'équerre le long de la droite (PQ), le sommet de l'angle droit en un point H et tracer une droite (HI) perpendiculaire à (PQ). Placer ensuite un des petits côtés de l'équerre sur cette perpendiculaire et la faire glisser, jusqu'à ce que l'autre petit côté passe par A. Enfin, tracer la droite (AM), perpendiculaire en A à (IA). |
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b. Tracé, à l'équerre, d'un carré avec deux sommets inaccessibles : Tracer un carré de sommet A, ayant un côté situé sur la droite (PQ) Le point A et la droite (PQ) sont situés de telle façon que le sommet C sera le seul autre sommet du carré ABCD situé sur la feuille, B et D ne seront pas dessinés.
Tracer, comme ci-dessus, la droite (AM) passant par A perpendiculaire à (PQ), La droite (AI), diagonale du carré cherché, coupe (PQ) en C sommet de ce carré.
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Autre tracé à la règle et à l'équerre
Avec une équerre, qui n'est pas isocèle, il est possible de tracer, comme ci-dessus, la droite (AM) passant par A perpendiculaire à (PQ), Retourner l'équerre, en permutant les petits côtés, faire un deuxième tracé de l'hypoténuse [GH]. Ces deux droites (EF) et (GH) se coupent en I et la droite (AI) est la bissectrice de MAN. Les angles MAI et NAI mesurent 45° et (AI) est une diagonale du carré. Comme ci-contre on construit le sommet C du carré, intersection de (AI) et (PQ),
Retrouver ces constructions dans : tracé du carré à la règle et l'équerre |
Sommaire1. Angle de deux droites |
Voir : intersection inaccessible Site « Descartes et les Mathématiques »Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr Suggestions, remarques, problèmes : me contacter. |
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