Site Descartes et les Mathématiques

Problèmes d'antan

Sommaire

5. Coniques comme lieux de points
7. Arcs contenus dans un arc capable comme lieux de points

Page n^o 155, créée le 26/3/2010

Faire de la
géométrie dynamique

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Rubrique du bulletin de l'APMEP où Michel Fréchet propose d'anciens problèmes à résoudre avec les notions utilisées dans les programmes de l'époque et aussi en se référant aux programmes actuels.
Dans cette page, nous nous contenterons provisoirement de la preuve par GéoPlan !

5. Problèmes d'antan n^o 5

Bulletin APMEP n^o 481 — Mars-avril 2009

Extrait du Baccalauréat 1926 de Caen.

Dans un plan, on donne une droite (D) et, sur cette droite
trois points distincts A, B, et C. Par A, B respectivement,
on mène les tangentes (AP) et (BP) (distinctes de (D))
à une circonférence tangente à (D) en C.

Lieu du point d'intersection P de ces deux droites lorsque
la circonférence varie, A, B et C restent fixes.

(On distinguera deux cas :
C est entre A et B ; C n'est pas entre A et B.)

Solution : bulletin n^o 484 — Septembre-octobre 2009

Commandes GéoPlan pour le lieu géométrique :
Déplacer le point O.
Touche T : garder la Trace du point P,
touche S : Sortie du mode trace.

Figure

Problèmes d'antan no5

Solution : C n'est pas entre A et B

Problèmes d'antan no5 - Solution ellipse

C entre A et B

Problèmes d'antan no5 - Solution hyperbole

Télécharger la figure GéoPlan antan5.g2w

7. Problèmes d'antan n^o 7

Bulletin APMEP n^o 487 — Mars-avril 2010

Première question du baccalauréat 1926 à Aix-Marseille.

On considère dans un plan un triangle ABC dont les sommets B et C restent fixes ; le sommet A est variable, l'angle A du triangle conservant une valeur constante donnée. On désigne par I₁ et I₂ les centres des cercles exinscrits au triangle dans les angles B et C.

Calculer en fonction de l'angle A les angles BI₁C et BI₂C ; déterminer le lieu géométrique des points I₁ et I₂ quand le sommet A se déplace en restant du même côté de BC.

Figure

Problèmes d'antan n°7

Solution

Par un calcul des angles des triangles BI₁C et BI₂C, on trouve que si α est la mesure l'angle A, les angles BI₁C et BI₂C mesurent α/2.

Le point A varie sur arc capable d'où l'on « voit » le segment [BC] d'un angle α, arc intersection du cercle (c), circonscrit à ABC, avec un des demi-plans limité par (BC).

Dans le triangle ABC soit les angles ABC = β et ACB = γ avec la somme des angles α + β + γ = π.
Par exemple, pour le triangle BI₁C, comme I₁ est sur la bissectrice intérieure de l'angle ACB, l'angle BI₁C = γ/2.
Le centre I₁ est aussi sur la bissectrice extérieure de l'angle ABC, perpendiculaire à la bissectrice intérieure (BI₂),
l'angle I₁BC = π/2 + β/2.
Donc BI₁C = π - I₁BC - BI₁C = π - (π/2 + β/2) - γ/2 = (π - β - γ)/2 = α/2.

Le lieu géométrique des points I₁ et I₂ est contenu dans l'arc capable qui « voit » le segment [BC] sous un angle α/2.
Comme l'angle au centre BO’C = α, le centre O’ du cercle (c’), contenant cet arc capable, est situé sur le cercle circonscrit au triangle ABC (et sur la médiatrice de [BC]).
Lorsque l'on déplace A de B en C, le point I₁ varie sur l'arc BB’ du cercle (c’) ou B’ est le deuxième d'intersection du cercle avec la perpendiculaire en B à (BC) ; le point I₂ varie sur l'arc C’C du cercle (c’) ou C’ est le deuxième d'intersection du cercle avec la perpendiculaire en C à (BC).

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