La géométrie en première

	La géométrie dynamique au lycée
Faire aimer et aimer faire de la géométrie dans l'ancienne classe de première S. La majorité de ces pages est hors programme. Au lycée, la géométrie est pratiquement supprimée et se réduit maintenant à la répétition des exercices de collège !
Descartes et les Mathématiques	Géométrie en 1^ère S Produit scalaire Exercices résolus par produit scalaire	Analyse avec GéoPlan Résolution d'équations du second degré Tangente à une courbe : introduction Méthode d'Euler Minimum-maximum Fonctions distance Courbe des chiens - suites en géométrie Paraboles	Quelle géométrie enseigner ?
…Avec GéoPlan	Lieux géométriques Un cercle comme lieu d'un point Échelle glissant contre un mur vertical		Collège
…avec GeoGebra			Seconde
…Avec GéoSpace	Géométrie Anciens programmes d'avant 2008 Angles Rotations Trigonométrie Homothéties Plan projectif Le barycentre Olympiades académiques 2002-2005 Olympiades 2008 Rectangle inscrit dans un rectangle Problèmes d'optimisation	Option 1^ère L - TL Analyse en 1L avec GéoPlan : fonctions et paraboles	Terminale Annales S-ES
Figures classiques avec GeoGebra 3D		Problèmes de construction en 1^ère L Construction de triangles Démonstrations géométriques de Pythagore Configurations fondamentales en seconde : triangles, triangles rectangles, cercles, parallélogrammes	Après-bac Capes
Transformation			Histoire des mathématiques
Vecteurs - Complexes Barycentres			Culture mathématique
Grandeurs - Aires Angles - Trigo			Géométrie du triangle
Analyse - Fonction Optimisation	Espace Tétraèdres, cubes Activités : intersection dans l'espace Fonctions - importation active	Calculatrice TI-92 Suites	Mobile friendly

Quelle géométrie enseigner ?

Voir aussi : quels contenus pour l'enseignement

La réforme des mathématiques moderne en 1960 s'est traduite par le passage de la géométrie euclidienne à l'algèbre linéaire. Ce fut une grave erreur didactique : l'enseignement de l'algèbre linéaire pose problème à l'université, au secondaire ce fut une catastrophe.

La réintroduction de la géométrie affine et euclidienne à partir des années 1970 a été assez pauvre, évitant la géométrie projective et en perdant des outils comme la division harmonique, l'inversion, la puissance d'un point par rapport à un cercle et les coniques à centre.
On passe maintenant dans un autre extrême avec la disparition des vecteurs au collège et en seconde cela n'aura tenu qu'à un fil.

On peut penser que l'enseignement de l'analyse au lycée est assez stéréotypé et laisse peu d'initiative aux élèves.
L'enseignement de la géométrie est sur la même voie. Il suffit de voir le manque de consistance des actuels manuels scolaires de géométrie.

L'épreuve pratique de terminale S pouvait être une bouffée d'oxygène, insistant sur la « recherche expérimentale » des élèves, mais elle avait mauvaise presse et il n'y avait pas suffisamment de sujets de géométrie. Elle a été supprimée en 2009. Espérons que les choix de 2012 seront cohérents avec son rétablissement au bac de 2013, comme le souhaite l'inspection.

Géométrie « molle », géométrie « dure »

Réflexions sur la pertinence de l'usage de la géométrie dynamique qui se veulent stimulantes, provocantes ☺…

Les freins

La géométrie n'est pas simple, pas plus que l'informatique, le mélange des deux avec les TICE peut devenir explosif !
Un conflit sociocognitif en résulte par la confrontation de représentations sur ces sujets provenant des différents enseignants en interaction. Ceci suscite des réactions qui positionnent chacun selon des profils bien discriminés, les uns par rapport aux autres.

Certains refusent ce qu'ils appellent « mettre les mains dans le cambouis de l'expérimentation » arguant de la « vraie nature » des mathématiques (il y a encore quelques bourbakistes ☺) et mettant en avant cet argument, peut-être pour ne pas changer de méthodes.
D'autres, prétextant que la géométrie dynamique est analytique, la trouvent prématurée au collège, sans doute à réserver aux grandes écoles (sans trop de boursiers !).
Ces collègues vont être dépassés par la forte augmentation de l'équipement personnel des élèves, qui utilisent des logiciels évolués et intuitifs, accessibles facilement et gratuitement, souvent par le net.

Pour l'Éducation Nationale, le conflit est évacué : on supprime pratiquement la géométrie en seconde, complètement en première et l'épreuve pratique en terminale. On subit passivement allègements d'horaires (suppression des TPE) et suppressions de dédoublements, dont les TICE seront les premières victimes.

Mais on ne fait plus de mathématiques sans outils informatiques et pour les autres collègues qui utilisent la géométrie dynamique, les réactions restent passionnées et fortement chargées de représentations individuelles sur l'enseignement de la géométrie.

Quels usages

En géométrie plane, j'utilise les logiciels suivants :
• payant : Cabri, brouillon interactif,
• institutionnel gratuit : GéoPlan, description explicite des objets géométriques, qui a ma préférence,
• libre : GeoGebra, géométrie analytique.

Dans certains de mes exemples, on retrouve les trois niveaux d'utilisation de la géométrie dynamique :
a. utilisation « molle » : si besoin, phase de recherche consistant à déplacer des points d'une figure et émettre des conjectures,
b. utilisation « dure » : réaliser la figure solution avec GéoPlan (autrefois avec Cabri, maintenant avec GeoGebra),
c. donner des indications pour une démonstration géométrique.

a. En principe je ne contente pas de la première phase, mais il m'arrive de sécher ou parfois la construction de la solution n'est pas faite, car elle fait appel à des notions non encore abordées.
Voir par exemple :
– construction d'une droite des milieux,

– diagonales perpendiculaires d'un trapèze rectangle.

b. En général, les figures sont proposées en « dur ». Réaliser ces figures avec un logiciel est sans aucun doute une activité mathématique formatrice.

c. La démonstration n'apporte pas forcément grand-chose de plus. Elle rassure le professeur…
Combien de démonstrations se réduisent à calculer, alors que le contexte géométrique est complètement occulté ? (Voir de trop nombreux exercices du bac sur les complexes.)

Il faut sérieusement repenser la place de la démonstration dans le contexte de la géométrie dynamique, pour qu'elle retrouve attractivité et légitimité…
Je m'en dispense quand :
• je me contente de la « preuve par GéoPlan » :
– la démonstration est trop difficile (triangles de Napoléon),
– elle est trop longue,
– elle est déjà faite dans les documents cités en référence, sans que je n'aie rien à ajouter.

• elle n'a pas d'intérêt (calculs analytiques implicitement faits par GéoPlan : maxima - minima),

• c'est trivial ou l'on bluffe (24 points sur l'axe orthique).

Propos librement inspirés d'un conflit sociocognitif en didactique - Dr. Ruben Rodriguez Herrera

Atelier APMEP - JN de Grenoble 2011

Voir nouvelles pratiques de la géométrie - IREM de Caen (documents disponibles au téléchargement) :