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Jeux et problèmes arithmétiques de l'APMEP

Renversons les nombres - L'ascension - bulletins APMEP no 343/344/346 - 1984

Sommaire

Renversons les nombres
L'ascension

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Le jeu des tuiles voisines

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Renversons les nombres

Jeux et maths - bulletin APMEP no 343 - avril 1984

Henry Camous de Marseille propose le jeu numérique suivant :

Multiplions par 9 le nombre 1089.
Examinons le résultat obtenu : 9801.

La multiplication par 9 a renversé le nombre 1081. Existe-t-il d'autres nombres qui se renversent ainsi par multiplication par 9 ?
Est-il possible de donner une formulation générale de ces nombres ?
Est-il possible de remplacer 9 par 8, par 7 ? par un autre nombre ?

Jeux et maths - bulletin APMEP no 345 - septembre 1984

Ce jeu a provoqué le plus volumineux courrier depuis les « tuiles voisines », de nombreux micros ordinateurs ont été programmés (François Minot).

Voici les solutions trouvées sur Thomson TO7 où le premier facteur est inférieur à 220 000 et le deuxième entre 2 et 9.

1 089 × 9 = 9 801
10 989 × 9 = 98 901
109 989 × 9 = 989 901

2 178 × 4 = 8 712
21 978 × 4 = 87 912
219 978 × 4 = 879 912

On peut vérifier que 10 … 89 × 9 = 98 … 01 et que 21 … 78 × 4 = 87 … 12 où les trois points sont à remplacer par n chiffres 9.

En cours de développement : voir l'article dans le bulletin APMEP.

L'ascension

Jeux et maths - bulletin APMEP no 344 - juin 1984

Un petit concours à proposer en société. On croit trouver immédiatement la réponse, mais il y a quelqu'un qui a pu faire mieux ! Et puis il y a encore mieux !
Cette fois, c'est probablement la solution, mais comment le prouver ?

Matériel : une feuille de papier sur laquelle on peut préparer des quadrillages 3 × 3.
Deux cases qui ont un côté en commun ou même seulement un sommet en commun sont dites voisines.

Déroulement : Placez d'abord deux fois le naturel UN dans deux cases voisines de votre choix.

Par exemple :

     
   

 1 

 

 1 

 

Ensuite, compléter les autres cases dans l'ordre qu'il vous plaira en écrivant dans chacune d'elles le total des naturels précédemment inscrits dans les cases voisines.

     
   

 1 

 

 1 

 2 

     
 

 4 

 1 

 

 1 

 2 

     5 
 

 4 

 1 

 

 1 

 2 

  10  5 
 

 4 

 1 

 

 1 

 2 

 

 14   10   5 
 

 4 

 1 

 

 1 

 2 

 14  10  5 

29

 4 

 1 

 

 1 

 2 

 14  10  5 

29

 4 

 1 

34

 1 

 2 

But : Obtenir le naturel le plus élevé.

Évidemment pour relancer le jeu rien n'empêche de choisir un quadrillage plus grand.

LE DÉFI : J'attends vos records sur les damiers 3 × 3, 3 × 4, 4 × 4, 5 × 5 et pourquoi pas 8 × 8 !

L'ascension

Jeux et maths - bulletin APMEP no 346 - décembre 1984

Vous avez été nombreux à m'envoyer vos résultats, mais c'est Patrice Debart qui détient tous les records.

Il a mené ses recherches à l'aide d'un micro-ordinateur TO7 et nous annonce que pour le carré 3 × 3, le score de 44 est le record définitif puisque « l'ordinateur a testé tous les cas possibles ».

 1 

 1 

 7

 2 

 6 

 14 

 2 

 24 

44

La solution est particulière, car
elle s'écrit avec deux 2, côte à côte.

Pour les autres grilles, Patrice Debart a mis au point une excellente utilisation du crayon optique : « en visant une case du damier, l'ordinateur calculait le nombre qui s'y plaçait ».

Les carrés 4 × 4 et 5 × 5

1

1

1227 2449

2

4

413

809

6

12

100

296

18 36

48

148

1

1

51 759

103

289 552

2

4

16 041

35 713

150 326

6

12

8 572

7 452

3 648

18

36

156

912

2 736

54

108

300

456

1 368

Voici les records obtenus :
Carrés  3 × 3 : 44
              4 × 4 : 2 449
              5 × 5 : 289 552
              6 × 6 : 121 936 056
              7 × 7 : 122 277 498 597
              8 × 8 : 490 859 392 331 426
              9 × 9 : 4 156 458 346 410 342 833
          10 × 10 : 160 039 921 564 864 950 634 458
          11 × 11 : 11 442 372 364 702 785 448 884 288 011
          12 × 12 : 4 226 520 837 926 508 312 612 046 825 331 560

Rectangles 3 × 4 : 269
                    4 × 5 : 22 081
                    5 × 6 : 4 514 008

Peut-on améliorer ces records ? Les explications données laissent un léger espoir.

« Pour accélérer les recherches, on peut se limiter aux cas où la case choisie est voisine de celle que l'on vient de jouer et le nombre obtenu strictement supérieur au précédent (sauf pour la deuxième case) ».
Avec cette hypothèse l'ordinateur a testé tous les chemins pour les damiers 4 × 4 et 5 × 5.

Pour les carrés 6 × 6, 7 × 7, 8 × 8… il n'est pas possible de faire toutes les vérifications, car les temps de calcul sont trop longs. Toutes les possibilités pour les 21 dernières cases ont été testées à partir de plusieurs combinaisons de départ.

Algorithme

Voici l'algorithme qui a donné les meilleurs résultats pour les damiers d'au moins quatre cases de côté.

 

1

1

 

2

4

 

6

 
     

 Remplir le damier par des bandes de deux cases de large.
 Au démarrage, par exemple, à partir d'un coin en haut à gauche remplir une bande verticale de deux colonnes.

 

       
   

 
 

B

D

18

36

A

C

 Lorsque l'on atteint le bord du bas, il faut négocier l'épingle à cheveu.
 S'il reste un nombre pair de colonnes vide, remplir les cases « A » et « B » contiguës à la bande précédente, puis compléter le carré en « C » et « D », et enfin remonter la bande verticale de gauche à droite jusqu'en haut.

 

 

;A

C

   

 B 

 D 

   

 
       

 Pour les damiers ayant un nombre pair de colonnes, on remplit en négociant les épingles à cheveux du haut en complétant le carré du haut dans l'ordre « A, B, C, D » ci-contre.

 

   B   C   E 
   

A

D

F

       
         
         

Pour les damiers ayant des nombres impairs de lignes et colonnes, on remplit comme ci-dessous jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une bande de trois cases libres.
Il faut alors, contrairement à l'habitude, changer de direction et jouer la case « A » vers le centre, puis remplir les cinq autres cases dans l'ordre « B, C, D, E, F ».

On complète ensuite ligne de trois par ligne de trois, de droite à gauche puis de gauche à droite, jusqu'à la fin du tableau.

Voir les exemples de figures des carrés 8 × 8 et 7 × 7 dans le bulletin APMEP.

Comment se jouer de la géométrie

Groupe « Jeux » de l'Association des Professeurs de Mathématiques - 2009

Qui ne connaît pas le solitaire ou le taquin ? Qui n'a jamais manipulé un Rubik’s cube ou tâché de reconstituer un puzzle, voire de juxtaposer les motifs d'un carrelage ou ceux de deux lais de papier peint ?

Ce petit livre rassemble plusieurs dizaines de jeux où la dimension mathématique est mise en vedette.

On peut chercher en tâtonnant les combinaisons dont sont formées les figures géométriques de ces différents jeux, à plat ou en volume ; mais leur fondement mathématique fait que l'on y parviendra plus vite et plus sûrement quand on en connaît la théorie.

Tous les jeux de ce recueil sont ainsi classés suivant les différentes parties de la géométrie, par degré de difficulté, toujours accompagnés de leur solution et du mode d'assemblage ou de fabrication des pièces dont ils sont constitués.

Extrait de Culture Math

Voir : transformation de l'aire d'un pentagone en triangle, parallélogramme ou carré ; pliage d'un triangle équilatéral dans une feuille carrée

Comment se jouer de la Géométrie

 Statistique Orange persoe visite des pages « perso ».

Page no 65, créée le 18/3/2004