Descartes et les Mathématiques
Cabri-géomètre en sixième
Travaux pratiques avec ordinateur : triangles, parallélogrammes, quadrilatères, polygones réguliers, pentagones - Arcs et angles, symétries.
Sommaire
1. Les triangles
Construire un triangle rectangle, un triangle isocèle
2. Droites remarquables dans le triangle
Médianes
Médiatrices
Retrouver le centre d'un cercle
Hauteurs
3. Symétries pour construire triangles ou quadrilatères
Triangle isocèle, trapèze isocèle, rectangle
4. Pavages et réseaux
Triangles équilatéraux, hexagones, étoiles
5. Milieu et médiatrice
Construction, triangles équilatéraux
Tracer une bissectrice
6. Constructions géométriques diverses
7. Arcs et angles
Reproduire un arc, un angle
8. Symétrie axiale
Symétrique d'un point, d'une droite,
d'un cercle, d'un triangle
TP no 1 - Les triangles
Objet : comment dessiner des triangles particuliers (rectangle, isocèle ou équilatéral)
1.1. Un triangle rectangle à partir d'un petit côté
Placer deux points A, B et dessiner le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B,
placer un point C sur la perpendiculaire (menu : point > Point sur objet).
Nommer les points (Label),
gommer la perpendiculaire (menu Cacher/Montrer),
tracer les segments [BC] et [AC] et marquer l'angle droit (menu Label).
Marquer le milieu de [AB] (menu : perpendiculaire) et tracer le cercle de centre O, passant par A.
Que remarque-t-on ?
Télécharger la figure Cabri tr_rectangle_cote.fig
Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w
1.2. Un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse
Placer les points A, B et dessiner le segment [AB], marquer le milieu (menu : perpendiculaire),
tracer le cercle de diamètre [AB],
placer un point C sur le cercle (menu : point > Point sur objet).
Nommer les points (Label),
tracer les segments [AC] et [BC] et marquer l'angle droit (menu : Label),
gommer le cercle et le milieu de [AB] (menu : Cacher/montrer).
Télécharger la figure Cabri tr_rectangle.fig
Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w
1.3. Tracer un triangle isocèle à partir de la base
Comment dessiner un triangle isocèle
Placer les points B, C et dessiner le segment [BC],
tracer la médiatrice de [AB] (menu : perpendiculaire > Médiatrice),
placer un point A sur la médiatrice (Point sur objet).
Nommer les points,
gommer la médiatrice (menu : Cacher/montrer),
tracer les segments [AB] et [AC],
marquer les égalités de segment (menu : Cacher/montrer > Aspect).
Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle isocèle
1.4. Triangle isocèle à partir d'un des côtés égaux
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.
Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.
Placer les points A, B et dessiner le segment [AB], tracer le cercle de centre A passant par B,
placer un point C sur le cercle (Point sur objet).
Nommer les points,
tracer les segments [BC] et [AC],
gommer le cercle (menu : Cacher/montrer),
marquer les égalités de segment (menu : Cacher/montrer > Aspect).
Télécharger la figure Cabri tri_isocele_2.fig
Télécharger la figure GéoPlan tri_iso2.g2w
1.5. Triangle équilatéral
Construction à la « règle et au compas », voir : le triangle équilatéral
Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle équilatéral
TP 2 - Droites remarquables du triangle
2.1. Médianes
Classe de cinquième
Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés.
Tracer un triangle ABC,
placer les milieux A’ de [BC], B’ de [AC] et C’ de [AB],
tracer les segments [AA’], [BB’] et [CC’], ces droites sont appelées médianes du triangle ABC.
On remarque ces droites sont concourantes en G, point nommé centre de gravité du triangle.
Figure interactive dans GeoGebraTube : médianes d'un triangle
2.2. Médiatrices
Accompagnement du programme de 5e
Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens.
Définition :
La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est la droite perpendiculaire à (AB) au milieu C’ de [AB].
La médiatrice est l'axe de symétrie du segment.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.
Construction
Tracer un triangle ABC,
placer les points A’, B’ et C’ milieux des côtés du triangle,
dessiner les médiatrices de [BC], [AC] et de [AB].
Démonstration
Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pour la médiatrice (OC’) on a OA = OB et pour (OA’) on a OB = OC.
D'où par transitivité OA = OC ; O appartient à la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit.
Tracer ce cercle.
Figure interactive dans GeoGebraTube : médiatrices d'un triangle
Application :
Retrouver le centre perdu d'un cercle sans compas
Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP), retrouver le centre de ce cercle.
Construction d'Euclide
Tracer les médiatrices de deux cordes du cercle :
Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle et dessiner les médiatrices de [AB] et [BC].
Le centre est le point d'intersection O de ces deux médiatrices
Figure interactive dans GeoGebraTube : centre d'un cercle
Technique GéoPlan
dans le menu « Créer>point >Centres divers », le logiciel permet de retrouver le centre d'un cercle déjà créé.
Comment trouver le centre d'un cercle avec un compas :
Dessiner le centre perdu au « compas seul » : problème de Napoléon
Comment trouver le centre d'un cercle sans compas :
Dessiner le centre perdu avec la « règle à bords parallèles »
Dessiner le centre perdu avec une équerre
2.3. Hauteurs
Les hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.
Tracer un triangle ABC,
tracer les hauteurs : les perpendiculaires à (BC) passant par A, à (AC) passant par B et à (AB) passant par C.
Placer les intersections des côtés et des hauteurs : hA sur [BC], hB sur [AC] et hC sur [AB],
gommer les trois hauteurs.
Tracer les segments [AhA], [BhB] et [ChC],
marquer les angles.
Les trois hauteurs sont concourantes en H
(H est l'orthocentre du triangle : classe de quatrième).
Figure interactive dans GeoGebraTube : hauteurs du triangle acutangle
Orthocentre d'un triangle obtusangle
Triangle ayant exactement un angle obtus.
Plus difficile :
remplacer certains segments par des droites pour obtenir une figure complète quand un des angles du triangle est obtus.
L'orthocentre (comme le centre du cercle circonscrit) est à l'extérieur du triangle.
Figure interactive dans GeoGebraTube : hauteurs d'un triangle
4. Bissectrice et cercle inscrit dans le triangle
Voir : problèmes de construction
Géométrie du triangle (lycée)
TP 3 - Utilisation de la symétrie
pour la construction de triangles et de quadrilatères particuliers
3.1. Triangle isocèle
Construction d'un triangle isocèle à partir d'un sommet B et de son axe de symétrie (d).
Tracer une droite (d), placer un point A sur D et un point B à l'extérieur de (d),
tracer C le symétrique de B par rapport à (d).
Dessiner le triangle et montrer que ABC est isocèle, marquer les égalités de côtés, d'angles et l'angle droit de [BC] avec sa médiatrice (d).
La droite (d), médiatrice de [BC] est l'axe de symétrie du triangle.
Les autres droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice) relatives à la base sont confondues avec cette droite (d).
3.2. Tracer un triangle équilatéral
Construction d'un triangle équilatéral à partir d'un sommet B et d'un axe de symétrie (d).
Tracer une droite (d), placer un point B à l'extérieur de (d),
tracer C le symétrique de B par rapport à (d),
tracer le cercle de centre B passant par C, ce cercle coupe (d) en A.
Dessiner le triangle et montrer que ABC est équilatéral, marquer les égalités de côtés, d'angles et l'angle droit.
Télécharger la figure Cabri tr_equilateral3.fig,
la figure Cabri triangle_equilateral.fig
Télécharger la figure GéoPlan tr_equi3.g2w
3.3. Tracer un trapèze isocèle
Construction d'un trapèze isocèle à partir d'un côté [AB] et de son axe de symétrie (d).
Définition
Un quadrilatère est un trapèze isocèle si c'est un trapèze et s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
- Les deux côtés opposés, non parallèles, sont de même longueur.
- Deux angles adjacents à une même base sont égaux.
- La médiatrice d'une des bases est axe de symétrie du trapèze. Elle est aussi la médiatrice de l'autre base.
Télécharger la figure GéoPlan trapeze_isocele.g2w
Voir : quadrilatères
Construction
Tracer une droite (d), placer deux points A et D à l'extérieur, d'un même côté, de (d),
tracer B le symétrique de A par rapport à (d) et C le symétrique de D.
Par construction, la droite (d) est la médiatrice de [AB] et [CD].
Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un trapèze isocèle, marquer les égalités de côtés et d'angles.
Conjectures
Remarquer les droites perpendiculaires et les droites parallèles.
Prolonger les côtés non parallèles et vérifier qu'ils se coupent en I, point situé sur l'axe de symétrie (d).
De même, les diagonales sont concourantes en un point J, situé sur l'axe de symétrie.
Les points I, J et les milieux M et P des côtés parallèles sont alignés (cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1ère S).
3.4. Tracer un rectangle
Construction d'un rectangle à partir d'un sommet A et d'un axe de symétrie (d).
Tracer une droite (d), placer un point A à l'extérieur de (d),
placer un point D sur la parallèle à (d) passant par A,
tracer B le symétrique de A par rapport à (d) et C le symétrique de D.
Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un carré, marquer les égalités de côtés et d'angles.
Marquer les angles des droites perpendiculaires et remarquer les droites parallèles.
Télécharger la figure de base GéoPlan rectangle.g2w ;
la figure GéoPlan rectangl.g2w
Télécharger la figure Cabri rectangle.fig
TP 4 - Pavages et réseaux
4.1. Tracer un hexagone régulier
Voir aussi : tracer un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral
4.2. Macroconstruction
Pour construire un hexagone, il suffit de connaître les points O et A que le logiciel appelle objets initiaux. L'ordinateur sait ensuite tracer les six segments [AB], [BC], [CD], [DE], [EF] et [FA] qu'il nomme objets finaux.
Cette macro se rajoute à la fin du menu construction.
4.3. Pavage d'hexagones
Méthode 1 par approximation
Créer trois centres O, O’ et O” et un point A.
Avec la macro hexagone construire les hexagones de centres O, O’ et O” passant par A.
Déplacer les centres O’ et O” pour faire coïncider les côtés des hexagones.
Puis construisez d'autres hexagones à partir de nouveaux centres.
Figure interactive dans GeoGebraTube : hexagone_reseau
Méthode 2 par symétries
On constate dans la méthode précédente que les centres sont symétriques par rapport aux côtés des hexagones.
On peut donc créer le centre O et un point A. Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O, passant par A. Construire le symétrique O’ du point O par rapport au segment [AB].
Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O’, passant par A.
Puis construire de nouveaux symétriques des centres par rapport aux côtés des hexagones et d'autres hexagones à partir de ces nouveaux centres.
4.4. étoiles
Savoir aussi dessiner divers types d'étoiles et définir une macro étoile permettant de tracer une des figures ci-dessous.
Pavage d'étoiles
Construire le symétrique O’ du point O par rapport à la droite (AB).
Avec la macro étoile construire une autre étoile de centre O’ passant par A.
4.5. Réseau de triangles équilatéraux
Placer deux points O et A,
dessiner deux triangles équilatéraux OAB et OAF à partir de deux cercles de centres O et A et de rayon OA,
gommer les cercles.
Placer les points symétriques par rapport à O : C symétrique de F, D symétrique de A et E symétrique de B.
Tracer l'hexagone ABCDEF.
Placer les autres points symétriques : A’, A”, B’, B” etc.
Tracer l'hexagone A’A”BOFF”.
Figure interactive dans GeoGebraTube : réseau triangulaire
À partir du réseau de points ainsi créé, réaliser des figures comme ci-dessous.
TP 5 - Milieu et médiatrice
Le mot « médiatrice » ne date que 1925, date à laquelle il a été adopté par l'assemblée générale de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Secondaire.
5.1. Médiatrice d'un segment au compas seul
Définition
La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan équidistants de A et B.
C'est la droite perpendiculaire à (AB) au milieu I de [AB].
5.1.Tracer la médiatrice d'un segment au compas seul
5.1.a. Construction d'Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.)
Dessiner deux cercles centrés sur les extrémités du segment, ayant pour rayon la longueur du segment :
Cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A.
Dessiner deux points A, B et le segment [AB].
Tracer les cercles de centres A et B et de rayon AB.
Soit C et D les points d'intersection de ces deux cercles.
Tracer la droite (CD) passant par ces deux points d'intersection, c'est la médiatrice de [AB].
Démonstration
En effet, ABC et ABD sont des triangles équilatéraux, leurs côtés sont de même longueur AB.
ACBD est un losange : les quatre côtés sont de même longueur AB. Les angles sont 60° et 120°.
Les points distincts C et D sont équidistants de A et B et appartiennent à la médiatrice, qui est la droite (CD).
[CD] diagonale du losange permet de retrouver la propriété de la médiatrice :
(CD) est perpendiculaire à [AB] et coupe [AB] en son milieu.
Figure interactive dans GeoGebraTube : construction de la médiiatrice au compas
Cette construction de la médiatrice est habituellement privilégiée pour sa meilleure précision en comparaison à l'utilisation de la règle et de l'équerre puisqu'il n'est pas nécessaire de mesurer le segment pour en trouver le milieu.
Cette construction permet de tracer la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné. Ainsi toute construction à l'équerre est réputée réalisable à la règle et au compas seulement.
Considérons une droite (d) et un point C extérieur à cette droite. On commence par tracer un cercle de centre C qui va couper la droite (d) en deux points A et B. Grâce à la construction précédente, on construit la médiatrice de [AB]. Comme C est à égale distance de A et B, D est sur cette médiatrice. Ainsi (CD), la médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à (d) et passant par C.
WikiPédia : Médiatrice au compas, nl
Catalan : Viquipèdia
Figure interactive dans GeoGebraTube : deux triangles équilatéraux
Retrouver cette figure avec GéoPlan, voir : triangle équilatéral
construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie dans les Éléments d'Euclide
5.2. Tracer la médiatrice d'un segment avec deux cercles
Dessiner deux cercles, de même rayon, centrés sur les extrémités du segment.
Tracer deux cercles de centres A et B, de même rayon, suffisamment grand.
Soit C et D les points d'intersection de ces deux cercles.
La droite (CD) est la médiatrice de [AB].
Démonstration
Comme ci-contre ACBD est un losange, car les quatre côtés sont de même longueur r, r rayon commun des deux cercles.
La droite (CD), diagonale du losange, est la médiatrice de [AB].
Comment tracer les médiatrices d'un triangle avec un compas
Répéter, pour deux côtés du triangle, la construction ci-dessus et terminer la troisième médiatrice en joignant le point d'intersection des deux premières médiatrices avec le milieu du troisième côté.
5.3. Tracer une bissectrice au compas seul
5.3.a. Construction d'un losange
GéoPlan permet de tracer une bissectrice à partir d'un angle défini par trois points.
Bissectrice comme médiatrice du triangle BOA :
Pour tracer une bissectrice « à la règle et au compas » on se place dans la situation d'un triangle isocèle BOA que l'on complète par un point I tel que le quadrilatère BOAI soit un losange.
Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer un point A sur un des côtés (d1) de l'angle. Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe la deuxième demi-droite (d2) en B.
Tracer les deux cercles de centre A et B, passant par O. Ces deux cercles se recoupent en I.
[OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) :
La diagonale (OI) du losange OABI, est la médiatrice de [AB] car les diagonales du losange se coupent en H milieu de [AB] et sont perpendiculaires.
Dans le triangle isocèle OAB, les angles AÔH et HÔB sont égaux, (OI) est donc la bissectrice, issue de O, de ce triangle.
Télécharger la figure Cabri cons_bissectrice.fig
Télécharger la figure GéoPlan cons_bisect.g2w
Voir : construction avec la règle à bords parallèles
5.4. Tracer une bissectice par report de mesure
Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine.
Placer deux points A et B sur un des côtés (d1) de l'angle. Reporter les longueurs OA et OB sur la deuxième demi-droite (d2) en y plaçant les points C et D tels que OC = OA et OD = OB.
Tracer les deux segments [AD] et [BC].
Ces deux segments se recoupent en I.
[OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : les triangles isométriques OAD et OBC sont symétriques par rapport à (OI).
Télécharger la figure GéoPlan cons_bisect2.g2w
Bibliographie
Rouché Eugène et De Comberousse Charles - traité de géométrie - 1900 - Éditions Jacques Gabay - 1997 - Exercice no 5
Herrera Ruben Rodriguez et Salles - Le Gac Danielle – Du dessin perçu à la figure construite - Ellipses - 2005
5.5.c. voir aussi : construction avec une règle à bords parallèles
TP 6 - Constructions géométriques diverses
6.1. Médiatrices et triangle rectangle
Tracer un triangle rectangle ABC,
dessiner les médiatrices du triangle,
tracer le cercle circonscrit.
Que constate-t-on ?
Télécharger la figure Cabri tr_rectangle_mediatrices.fig
Télécharger la figure GéoPlan tr_rect4.g2w
6.2. Triangles symétriques
ABC est un triangle équilatéral.
ACD et BCE sont des triangles isocèles tels que AD = BE.
Reproduire cette figure.
Que peut-on dire du triangle CDE ?
Montrer que les points D et E sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AB],
en déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
Télécharger la figure Cabri triangles_symetriques.fig
Télécharger la figure GéoPlan tr_sym.g2w
6.3. Cinq triangles équilatéraux
ABC est un triangle équilatéral.
Reproduire ce dessin.
Quels sont les axes de symétrie ?
Que peut-on dire des triangles de la figure ?
Télécharger la figure Cabri quatre_triangles_equilateraux.fig
Voir aussi : triangles équilatéraux et cercle
6.4. Triangles isocèles
Reproduire la figure ci-dessous, sachant que :
le triangle ABC est isocèle (AB = AC),
le triangle ACD est isocèle (AC = AD).
Le triangle ABE est isocèle (EA = EB) et les longueurs CE et CD sont égales.
Indication : cercles et médiatrice
Avec Cabri-géomètre, placer les points A et B.
Pour construire les deux premiers triangles isocèles, placer les points C et D sur le cercle de centre A passant par B.
Le point E est une des intersections de la médiatrice de [AB] et du cercle de centre C passant par A.
Télécharger la figure Cabri tr_isocele3.fig
Télécharger la figure GéoPlan tr_iso3.g2w
6.5. Quadrilatère
6.2.a. Tracer un triangle FIL.
Tracer la droite passant par L parallèle à (FI),
tracer la droite passant par I parallèle à (FL),
et nommer S l'intersection de ces deux droites.
Quelle est la nature du quadrilatère FISL ?
6.2.b. Si le triangle FIL est rectangle en F, que dire de FISL ?
6.2.c. Et si le triangle FIL est isocèle (FI = FL) ?
6.5.d.Triangle rectangle et rectangle.
Même question avec un triangle FIL rectangle et un rectangle cmme quadrilatère.
Technique Cabri
Déplacer F sur le cercle de diamètre [IL] pour obtenir un triangle rectangle FIL et un rectangle FISL,
déplacer F sur la médiatrice de [IL] pour obtenir un triangle isocèle FIL et un losange FISL,
placer F à une des intersections de ce cercle et de cette médiatrice pour obtenir un triangle rectangle isocèle FIL et un carré FISL.
Télécharger la figure Cabri quadrilatere_fisl.fig
Télécharger la figure GéoPlan qua_fisl.g2w
6.6. Droites perpendiculaires dans un rectangle
Partage en trois de [CF]
Construction de symétriques : Cabri ne permet pas de diviser un segment en trois. Pour tracer la figure du problème (ci-dessous à droite) placer deux points A et C,
sur la perpendiculaire en C à (AC) placer un point D, puis le point E symétrique de C par rapport à D et le point F symétrique de D par rapport à E.
Enfin, terminer le rectangle ACFH.
Construction de parallèles : Il est aussi possible de réalise la figure ci-dessous à gauche, qui sera justifiée par la propriété de Thalès en quatrième :
placer deux points C et F, sur la perpendiculaire en C à (CF) placer un point A, puis terminer le rectangle ACFH, en traçant les parallèles aux côtés [AC] et [CF] qui se coupent en H.
Tracer le milieu B de [AC] et le symétrique B’ de B, par rapport à A.
Les parallèles à (B’F), passant par A et B, coupent (CF) en D et E, qui sont les points cherchés.
ACFH est un rectangle, B est milieu de [AC], G celui de [FH].
D et E partagent [CF] en trois segments de même longueur.
Télécharger la figure GéoPlan cons_rect_perpendiculaires.g2w
Télécharger la figure Cabri cons_rect_perpendiculaires.fig
Tracer ensuite les sécantes, marquer et mesurer les angles.
Déplacer les points pour trouver des paires de droites perpendiculaires.
Que peut-on dire alors du rapport des longueurs AC et AF ?
Télécharger la figure Cabri rect_perpendiculaires.fig
Télécharger la figure GéoPlan rect_per.g2w
Le but de l'exercice est de trouver que (AD) et (CH) sont perpendiculaires lorsque AF est le double de AC.
Si ACFH est un carré, les diagonales sont perpendiculaires.
Technique GéoPlan
En modifiant le prototype marquer un angle droit, avec µ(abs(t-90)<0.1) pour une précision de 0,1°, on peut faire apparaître les angles droits en déplaçant les points avec la souris.
Voir aussi le partage d'un segment en trois
TP 7 - Arcs et angles
7.1. Reproduire un arc de cercle
Sur un cercle (c) de centre O placer un point A et un arc AB en montrant le point A, un point intermédiaire situé sur le cercle et le point final B.
Tracer un cercle de centre I de même rayon : placer un point I. Avec le compas, montrer les points O et A pour mesurer le rayon du cercle (c), puis montrer le point I pour tracer ce deuxième cercle.
Reporter la longueur de la corde AB : au compas montrer les points A et B pour mesurer le rayon, puis montrer le point C ; le point D est une des intersections des deux derniers cercles. Les arcs AB et CD sont égaux (on peut mesurer les longueurs de leurs cordes).
Télécharger la figure Cabri copier_arc_cercle.fig
Télécharger la figure GéoPlan copi_arc.g2w
7.2. Reproduire un angle
à la règle et au compas
Eudéme, cité par Proclus, attribuait à Œnopide de Chios (Ve siécle avant J.-C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre I d'Euclide : « Sur une droite donnée, et en un point donné sur cette droite, construire un angle égal à un angle donné. »
Reproduire un angle d'origine O à partir d'une demi-droite d'origine I :
Soit deux points O et I, deux demi-droites ayant pour origine le point O et une demi-droite d'origine I.
Pour reporter l'angle d'origine O, placer un point A sur un des côtés de l'angle. Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe le deuxième côté en B.
Avec le compas, mesurer la longueur OA, puis tracer le cercle de centre I et de rayon OA.
Nommer C l'intersection de ce cercle avec la demi-droite.
Avec le compas, mesurer la longueur AB, puis tracer le cercle de centre C et de rayon AB. Nommer D une des intersections des deux cercles. Tracer la demi-droite [ID).
Les angles AÔB et CÎD sont égaux. On peut les marquer et les mesurer.
Macroconstruction
Pour reporter un angle, il suffit de connître les demi-droites [OA), [OB) et [IC) que le logiciel appelle objets initiaux.
L'ordinateur sait ensuite tracer la demi-droite [ID) qu'il nomme objet final.
Dans le menu macroconstruction, choisir l'icône objets initiaux, montrer avec la souris les trois demi-droites qui se mettent à clignoter. Attention l'ordre des demi-droites a de l'importance.
Puis choisir l'icône des objets finaux, ici la demi-droite [ID).
Enfin, nommer la macro report d'angle, éventuellement l'enregistrer.
Télécharger la figure Cabri copier_copier_angle.fig
Télécharger la figure GéoPlan copi_ang.g2w
TP 8 - Symétrie par rapport à une droite
8.1. Tracer le symétrique d'un point
Placer un point M et une droite (d).
Construire le symétrique M’ du point M par rapport à (d) :
– Soit par construction avec règle graduée et équerre :
trouver le point H pied de la perpendiculaire issue de M sur la droite (d) ; en déduire M’
– Soit construire un losange AMBM’ de diagonale située sur (d) :
Soit A un point de (d). Le cercle de centre M, passant par A, recoupe (d) en B.
Les cercles de centres A et B, passant par M, se recoupent en M’, le point symétrique cherché.
(les diagonales du losange AMBM’ sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu H).
8.2. Tracer le symétrique d'une droite
Placer deux points A et B, tracer la droite (AB) et une droite (D) {non perpendiculaire à (AB)},
construire les symétriques A’ et B’ des points A et B par rapport à (D),
tracer la droite (A’B’).
Déplacer les points A et B.
Compléter :
Si la droite (AB) coupe la droite D alors ……
Si la droite (AB) est parallèle à la droite D alors ……
Placer et déplacer un point M sur (AB), construire son symétrique M’ et le segment [MM’].
Remarque : lorsque les droites sont sécantes, la droite (A’B’), symétrique de (AB) par rapport à (D), passe par le point I, intersection de (AB) et (D). Il est souvent efficace d'utiliser ce point pour la construction.
Télécharger la figure GéoPlan symetrique_droite.g2w
8.3. Tracer le symétrique d'un cercle
Placer deux points A et O et une droite D,
construire les symétriques A’ et O’ des points A et B par rapport à D,
tracer le cercle C de centre O, passant par A.
Quel est le symétrique de ce cercle par rapport à D ?
Déplacer les points A et B.
Compléter :
Si le cercle C coupe la droite D ……
Si le point O est sur la droite D alors ……
Placer et déplacer un point M sur C, construire son symétrique M’ ; le segment [MM’] et les rayons [OM] et [O’M’]. Modifier les couleurs pour rendre la figure plus parlante.
8.4. Tracer le symétrique d'un triangle
Placer trois points A, B, C et une droite D.
Construire les symétriques A’, B’ et C’ des points A, B et C par rapport à D.
Tracer le triangle ABC et son symétrique.
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