Cabri-géomètre en sixièmeTravaux pratiques avec ordinateur : triangles, parallélogrammes, quadrilatères, polygones réguliers, pentagones - Arcs et angles, symétries. | ||
Sommaire1. Les triangles 7. Arcs et angles | ||
TP no 1 - Les trianglesObjet : comment dessiner des triangles particuliers (rectangle, isocèle ou équilatéral) 1.1. Un triangle rectangle à partir d'un petit côté![]() Placer deux points A, B et dessiner le segment [AB], Nommer les points (Label), Marquer le milieu de [AB] (menu : perpendiculaire) et tracer le cercle de centre O, passant par A. Que remarque-t-on ?
| ||
1.2. Un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse![]() Placer les points A, B et dessiner le segment [AB], marquer le milieu (menu : perpendiculaire), Nommer les points (Label),
| ||
1.3. Tracer un triangle isocèle à partir de la base![]() Comment dessiner un triangle isocèle Placer les points B, C et dessiner le segment [BC], Nommer les points,
| ||
1.4. Triangle isocèle à partir d'un des côtés égaux![]() Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base. Placer les points A, B et dessiner le segment [AB], tracer le cercle de centre A passant par B, Nommer les points,
| ||
1.5. Triangle équilatéralConstruction à la « règle et au compas », voir : le triangle équilatéral
| ||
TP 2 - Droites remarquables du triangle2.1. MédianesClasse de cinquième ![]() Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Tracer un triangle ABC, On remarque ces droites sont concourantes en G, point nommé centre de gravité du triangle.
| ||
2.2. MédiatricesAccompagnement du programme de 5e Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens. Définition : La médiatrice est l'axe de symétrie du segment. Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle. ![]() Construction Tracer un triangle ABC, Démonstration Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC]. Tracer ce cercle.
| ||
Application : Retrouver le centre perdu d'un cercle sans compas![]() Étant donné un cercle (par exemple, le cercle circonscrit au triangle MNP), retrouver le centre de ce cercle. Construction d'EuclideTracer les médiatrices de deux cordes du cercle : Placer trois points distincts A, B et C sur le cercle et dessiner les médiatrices de [AB] et [BC]. Le centre est le point d'intersection O de ces deux médiatrices
![]() Technique GéoPlan dans le menu « Créer>point >Centres divers », le logiciel permet de retrouver le centre d'un cercle déjà créé. Comment trouver le centre d'un cercle avec un compas : Dessiner le centre perdu au « compas seul » : problème de Napoléon Comment trouver le centre d'un cercle sans compas : Dessiner le centre perdu avec la « règle à bords parallèles » Dessiner le centre perdu avec une équerre | ||
2.3. HauteursLes hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé. ![]() Tracer un triangle ABC, Placer les intersections des côtés et des hauteurs : hA sur [BC], hB sur [AC] et hC sur [AB], Tracer les segments [AhA], [BhB] et [ChC], Les trois hauteurs sont concourantes en H
| ||
![]() Orthocentre d'un triangle obtusangleTriangle ayant exactement un angle obtus. Plus difficile : remplacer certains segments par des droites pour obtenir une figure complète quand un des angles du triangle est obtus.
4. Bissectrice et cercle inscrit dans le triangle Voir : problèmes de construction Géométrie du triangle (lycée) | ||
TP 3 - Utilisation de la symétriepour la construction de triangles et de quadrilatères particuliers 3.1. Triangle isocèle![]() Construction d'un triangle isocèle à partir d'un sommet B et de son axe de symétrie (d). Tracer une droite (d), placer un point A sur D et un point B à l'extérieur de (d), Dessiner le triangle et montrer que ABC est isocèle, marquer les égalités de côtés, d'angles et l'angle droit de [BC] avec sa médiatrice (d). La droite (d), médiatrice de [BC] est l'axe de symétrie du triangle. | ||
3.2. Tracer un triangle équilatéral![]() Construction d'un triangle équilatéral à partir d'un sommet B et d'un axe de symétrie (d). Tracer une droite (d), placer un point B à l'extérieur de (d), Dessiner le triangle et montrer que ABC est équilatéral, marquer les égalités de côtés, d'angles et l'angle droit.
la figure Cabri triangle_equilateral.fig
| ||
3.3. Tracer un trapèze isocèleConstruction d'un trapèze isocèle à partir d'un côté [AB] et de son axe de symétrie (d). ![]() Définition Un quadrilatère est un trapèze isocèle si c'est un trapèze et s'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
Voir : quadrilatères | ||
Construction ![]() Tracer une droite (d), placer deux points A et D à l'extérieur, d'un même côté, de (d), Par construction, la droite (d) est la médiatrice de [AB] et [CD]. Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un trapèze isocèle, marquer les égalités de côtés et d'angles. Conjectures Remarquer les droites perpendiculaires et les droites parallèles. Prolonger les côtés non parallèles et vérifier qu'ils se coupent en I, point situé sur l'axe de symétrie (d). Les points I, J et les milieux M et P des côtés parallèles sont alignés (cas particulier du théorème du trapèze complet, classe de 1ère S). | ||
3.4. Tracer un rectangle![]() Construction d'un rectangle à partir d'un sommet A et d'un axe de symétrie (d). Tracer une droite (d), placer un point A à l'extérieur de (d), Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un carré, marquer les égalités de côtés et d'angles.
la figure GéoPlan rectangl.g2w
| ||
TP 4 - Pavages et réseaux4.1. Tracer un hexagone régulierVoir aussi : tracer un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral 4.2. MacroconstructionPour construire un hexagone, il suffit de connaître les points O et A que le logiciel appelle objets initiaux. L'ordinateur sait ensuite tracer les six segments [AB], [BC], [CD], [DE], [EF] et [FA] qu'il nomme objets finaux.
4.3. Pavage d'hexagones![]() Méthode 1 par approximation Créer trois centres O, O’ et O” et un point A. ![]() Avec la macro hexagone construire les hexagones de centres O, O’ et O” passant par A. Déplacer les centres O’ et O” pour faire coïncider les côtés des hexagones. Puis construisez d'autres hexagones à partir de nouveaux centres.
| ||
Méthode 2 par symétriesOn constate dans la méthode précédente que les centres sont symétriques par rapport aux côtés des hexagones. On peut donc créer le centre O et un point A. Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O, passant par A. Construire le symétrique O’ du point O par rapport au segment [AB]. Avec la macro hexagone construire l'hexagone de centre O’, passant par A. Puis construire de nouveaux symétriques des centres par rapport aux côtés des hexagones et d'autres hexagones à partir de ces nouveaux centres. | ||
4.4. étoilesSavoir aussi dessiner divers types d'étoiles et définir une macro étoile permettant de tracer une des figures ci-dessous. ![]() ![]() ![]() Pavage d'étoilesConstruire le symétrique O’ du point O par rapport à la droite (AB). ![]() ![]() | ||
![]() | ||
![]() ![]() | ||
4.5. Réseau de triangles équilatéraux![]() Placer deux points O et A,
À partir du réseau de points ainsi créé, réaliser des figures comme ci-dessous. | ||
![]() ![]()
| ||
TP 5 - Milieu et médiatriceLe mot « médiatrice » ne date que 1925, date à laquelle il a été adopté par l'assemblée générale de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Secondaire. 5.1. Médiatrice d'un segment au compas seulDéfinition 5.1.Tracer la médiatrice d'un segment au compas seul![]() 5.1.a. Construction d'Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.) Dessiner deux cercles centrés sur les extrémités du segment, ayant pour rayon la longueur du segment : Cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A. Dessiner deux points A, B et le segment [AB]. Démonstration En effet, ABC et ABD sont des triangles équilatéraux, leurs côtés sont de même longueur AB. Les points distincts C et D sont équidistants de A et B et appartiennent à la médiatrice, qui est la droite (CD). [CD] diagonale du losange permet de retrouver la propriété de la médiatrice :
Cette construction de la médiatrice est habituellement privilégiée pour sa meilleure précision en comparaison à l'utilisation de la règle et de l'équerre puisqu'il n'est pas nécessaire de mesurer le segment pour en trouver le milieu. Cette construction permet de tracer la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné. Ainsi toute construction à l'équerre est réputée réalisable à la règle et au compas seulement. Considérons une droite (d) et un point C extérieur à cette droite. On commence par tracer un cercle de centre C qui va couper la droite (d) en deux points A et B. Grâce à la construction précédente, on construit la médiatrice de [AB]. Comme C est à égale distance de A et B, D est sur cette médiatrice. Ainsi (CD), la médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à (d) et passant par C. WikiPédia : Médiatrice au compas, nl Catalan : Viquipèdia
Retrouver cette figure avec GéoPlan, voir : triangle équilatéral construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie dans les Éléments d'Euclide | ||
5.2. Tracer la médiatrice d'un segment avec deux cercles![]() Dessiner deux cercles, de même rayon, centrés sur les extrémités du segment. Tracer deux cercles de centres A et B, de même rayon, suffisamment grand. Démonstration Comme ci-contre ACBD est un losange, car les quatre côtés sont de même longueur r, r rayon commun des deux cercles. La droite (CD), diagonale du losange, est la médiatrice de [AB]. Comment tracer les médiatrices d'un triangle avec un compas Répéter, pour deux côtés du triangle, la construction ci-dessus et terminer la troisième médiatrice en joignant le point d'intersection des deux premières médiatrices avec le milieu du troisième côté. | ||
5.3. Tracer une bissectrice au compas seul5.3.a. Construction d'un losange![]() GéoPlan permet de tracer une bissectrice à partir d'un angle défini par trois points. Bissectrice comme médiatrice du triangle BOA : Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer un point A sur un des côtés (d1) de l'angle. Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe la deuxième demi-droite (d2) en B. [OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : La diagonale (OI) du losange OABI, est la médiatrice de [AB] car les diagonales du losange se coupent en H milieu de [AB] et sont perpendiculaires.
Voir : construction avec la règle à bords parallèles | ||
5.4. Tracer une bissectice par report de mesure![]() Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer deux points A et B sur un des côtés (d1) de l'angle. Reporter les longueurs OA et OB sur la deuxième demi-droite (d2) en y plaçant les points C et D tels que OC = OA et OD = OB. Ces deux segments se recoupent en I. [OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : les triangles isométriques OAD et OBC sont symétriques par rapport à (OI).
Bibliographie Rouché Eugène et De Comberousse Charles - traité de géométrie - 1900 - Éditions Jacques Gabay - 1997 - Exercice no 5 Herrera Ruben Rodriguez et Salles - Le Gac Danielle – Du dessin perçu à la figure construite - Ellipses - 2005 5.5.c. voir aussi : construction avec une règle à bords parallèles | ||
TP 6 - Constructions géométriques diverses6.1. Médiatrices et triangle rectangle![]() Tracer un triangle rectangle ABC, Que constate-t-on ?
| ||
6.2. Triangles symétriques![]() ABC est un triangle équilatéral. Reproduire cette figure.
| ||
6.3. Cinq triangles équilatéraux![]() ABC est un triangle équilatéral. Reproduire ce dessin. Quels sont les axes de symétrie ? Que peut-on dire des triangles de la figure ?
Voir aussi : triangles équilatéraux et cercle | ||
6.4. Triangles isocèles![]() Reproduire la figure ci-dessous, sachant que : le triangle ABC est isocèle (AB = AC), le triangle ACD est isocèle (AC = AD). Le triangle ABE est isocèle (EA = EB) et les longueurs CE et CD sont égales. | ||
Indication : cercles et médiatrice ![]() Avec Cabri-géomètre, placer les points A et B. Pour construire les deux premiers triangles isocèles, placer les points C et D sur le cercle de centre A passant par B. Le point E est une des intersections de la médiatrice de [AB] et du cercle de centre C passant par A.
| ||
6.5. Quadrilatère![]() 6.2.a. Tracer un triangle FIL. Tracer la droite passant par L parallèle à (FI), Quelle est la nature du quadrilatère FISL ? 6.2.b. Si le triangle FIL est rectangle en F, que dire de FISL ? 6.2.c. Et si le triangle FIL est isocèle (FI = FL) ? | ||
6.5.d.Triangle rectangle et rectangle.![]() Même question avec un triangle FIL rectangle et un rectangle cmme quadrilatère. Technique Cabri
| ||
6.6. Droites perpendiculaires dans un rectanglePartage en trois de [CF] Construction de symétriques : Cabri ne permet pas de diviser un segment en trois. Pour tracer la figure du problème (ci-dessous à droite) placer deux points A et C, ![]() Construction de parallèles : Il est aussi possible de réalise la figure ci-dessous à gauche, qui sera justifiée par la propriété de Thalès en quatrième : ACFH est un rectangle, B est milieu de [AC], G celui de [FH].
| ||
![]() Tracer ensuite les sécantes, marquer et mesurer les angles. Déplacer les points pour trouver des paires de droites perpendiculaires.
Le but de l'exercice est de trouver que (AD) et (CH) sont perpendiculaires lorsque AF est le double de AC. Si ACFH est un carré, les diagonales sont perpendiculaires. Technique GéoPlan En modifiant le prototype marquer un angle droit, avec µ(abs(t-90)<0.1) pour une précision de 0,1°, on peut faire apparaître les angles droits en déplaçant les points avec la souris. Voir aussi le partage d'un segment en trois | ||
TP 7 - Arcs et angles7.1. Reproduire un arc de cercle![]() Sur un cercle (c) de centre O placer un point A et un arc AB en montrant le point A, un point intermédiaire situé sur le cercle et le point final B. Tracer un cercle de centre I de même rayon : placer un point I. Avec le compas, montrer les points O et A pour mesurer le rayon du cercle (c), puis montrer le point I pour tracer ce deuxième cercle. Reporter la longueur de la corde AB : au compas montrer les points A et B pour mesurer le rayon, puis montrer le point C ; le point D est une des intersections des deux derniers cercles. Les arcs AB et CD sont égaux (on peut mesurer les longueurs de leurs cordes).
| ||
7.2. Reproduire un angle![]() à la règle et au compas Eudéme, cité par Proclus, attribuait à Œnopide de Chios (Ve siécle avant J.-C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre I d'Euclide : « Sur une droite donnée, et en un point donné sur cette droite, construire un angle égal à un angle donné. » Reproduire un angle d'origine O à partir d'une demi-droite d'origine I : Soit deux points O et I, deux demi-droites ayant pour origine le point O et une demi-droite d'origine I. Pour reporter l'angle d'origine O, placer un point A sur un des côtés de l'angle. Tracer le cercle de centre O, passant par A, qui coupe le deuxième côté en B. Avec le compas, mesurer la longueur OA, puis tracer le cercle de centre I et de rayon OA. Avec le compas, mesurer la longueur AB, puis tracer le cercle de centre C et de rayon AB. Nommer D une des intersections des deux cercles. Tracer la demi-droite [ID). Les angles AÔB et CÎD sont égaux. On peut les marquer et les mesurer. MacroconstructionPour reporter un angle, il suffit de connître les demi-droites [OA), [OB) et [IC) que le logiciel appelle objets initiaux.
L'ordinateur sait ensuite tracer la demi-droite [ID) qu'il nomme objet final.
| ||
TP 8 - Symétrie par rapport à une droite8.1. Tracer le symétrique d'un point![]() Placer un point M et une droite (d). Construire le symétrique M’ du point M par rapport à (d) : – Soit par construction avec règle graduée et équerre : – Soit construire un losange AMBM’ de diagonale située sur (d) : | ||
8.2. Tracer le symétrique d'une droite![]() Placer deux points A et B, tracer la droite (AB) et une droite (D) {non perpendiculaire à (AB)}, Déplacer les points A et B. Compléter : Si la droite (AB) coupe la droite D alors …… Si la droite (AB) est parallèle à la droite D alors …… Placer et déplacer un point M sur (AB), construire son symétrique M’ et le segment [MM’]. Remarque : lorsque les droites sont sécantes, la droite (A’B’), symétrique de (AB) par rapport à (D), passe par le point I, intersection de (AB) et (D). Il est souvent efficace d'utiliser ce point pour la construction.
| ||
8.3. Tracer le symétrique d'un cercle![]() Placer deux points A et O et une droite D, Quel est le symétrique de ce cercle par rapport à D ? Déplacer les points A et B. Compléter : Si le cercle C coupe la droite D …… Si le point O est sur la droite D alors …… Placer et déplacer un point M sur C, construire son symétrique M’ ; le segment [MM’] et les rayons [OM] et [O’M’]. Modifier les couleurs pour rendre la figure plus parlante. | ||
8.4. Tracer le symétrique d'un triangle![]() Placer trois points A, B, C et une droite D. Construire les symétriques A’, B’ et C’ des points A, B et C par rapport à D. Tracer le triangle ABC et son symétrique. | ||
Table des matièresDans d'autres pages du site Faire de la géométrie avec Cabri Cabri-géomètre : Initiation - Mode d'emploi Cabri-géomètre : Classe de troisième | ||
Téléchargement
|