René DescartesDescartes et les Mathématiques

Descartes et Pappus

Fac-similés et commentaires de « La Géométrie » de René Descartes sur le problème de Pappus.
Les figures interactives de GéoPlan réactualisaient l'ouvrage, de prime abord assez difficile, de ce grand mathématicien, mais sont maintenant périmées.

Accueil Descartes et les Mathématiques

Le problème de Pappus
Figures classiques

Note sur le Problème de Pappus

Le problème de Pappus

Les coniques comme lieux de points
(niveau bac + 2)

1. La méthode de Descartes : 

2. La mise en équation du problème : 

3. La solution de Descartes : 

4. 5. 6. Trois exemples d'autres solutions : 

 
 

1. Le problème de Pappus

2. Géométrie cartésienne

3. Cercle

4. Ellipse

5. Hyperbole

6. Parabole

Si vous ne visualisez pas l'image dans le cadre ci-contre, les contrôles ActiveX du CREEM ne sont pas installés sur votre PC. Vous pouvez :

Les grands problèmes
de la géométrie grecque

TI-92
Fractions égyptiennes

Les Éléments d'Euclide

Le problème de Pappus, solution neuve (en 1637) pour un problème ancien, va permettre à Descartes d'expliciter ses théories sur les solutions « à la règle et au compas » et « la nature des courbes planes ».

1. Le problème de Pappus

Le problème de Pappus est la recherche du lieu géométrique d'un point C tel que le produit des distances de C à deux d'entre elles soit égal au produit des distances de C aux deux autres droites pour le problème avec quatre droites ;
le produit des distances de C à deux d'entre elles soit égal au carré du produit des distances de C à la troisième droite pour le problème avec trois droites.

Descartes utilise des rapports de similitude plutôt que des distances et cherche le lieu du point C dont les segments menés de ce point à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux.

Exemple tiré de Pappus.

Et on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au commencement de son septième livre, où après s'être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avait été écrit en géométrie par ceux qui l'avaient précédé, il parle enfin d'une question qu'il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n'avaient su entièrement résoudre; et voici ses mots :


Je cite plutôt la version latine que le texte grec, afin que chacun l'entende plus aisément

Mais ce lieu à 3 et 4 lignes, dont Apollonius dit, à propos de son livre III, qu'Euclide ne l'a pas complètement traité, lui-même, pas plus qu'aucun autre, n'aurait pu l'achever, ni même rien ajouter à ce qu'Euclide en a écrit, du moins en s'en tenant exclusivement aux Éléments des Coniques déjà démontrés au temps d'Euclide, etc.

Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question :

Voici quel est ce lieu à 3 et 4 lignes, à propos duquel Apollonius se décerne de grands éloges pour ses additions et dont il aurait dû savoir gré au premier qui en a écrit. […]

la Geometrie de Descartes - probleme de Pappus - page 304

La question donc qui avait été commencée à résoudre par Euclide et poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, était telle :
Ayant trois ou quatre, ou un plus grand nombre de lignes droites données par position (droite donnée par position : droite parallèle à une direction – position – donnée) ; premièrement on demande un point, duquel on puisse tirer autant d'autres lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles des angles donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront tirées d'un même point, ait la proportion donnée avec le rectangle des deux autres s'il y en a quatre. […]

Page 307

[…] Puis à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent satisfaire à ce qui à ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connaître et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois sections coniques; mais il n'entreprend point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquer celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les Anciens en avaient imaginé une qu'ils montraient y être utile, mais qui semblait la plus manifeste, et qui n'était pas toutefois la première. Ce qui m'a donné occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu'ils ont été.

Réponse à la question de Pappus

Et premièrement j'ai connu que cette question n'étant proposée qu'en trois, ou quatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie simple, c'est-à-dire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit ;
Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes données, les points cherchés se rencontrent tous, non seulement en l'une des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d'un cercle ou en une ligne droite ;

la Geometrie de Descartes - probleme de Pappus - page 306

[…]

Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections coniques, est celle qu'on peut décrire par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite, en la façon qui sera tantôt expliquée. En sorte que je pense avoir entièrement satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci par les Anciens ; et je tâcherai d'en mettre la démonstration en peu de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire.

Soient AB, AD, EF, GH, etc., plusieurs lignes données par position, et qu'il faille trouver un point, comme C, duquel ayant tiré d'autres lignes droites sur les données, comme CB, CD, CF et CH, en sorte que les angles CBA, CDA, CFE, CHG, etc., soient donnés,

la Geometrie de Descartes - figure 5 du probleme de Pappus - page 309

et que ce qui est produit par la multiplication d'une partie de ces ligues soit égal à ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu'ils aient quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plus difficile.

Étant donné les quatre droites AB, AD, EF, GH, le problème de Pappus, est de trouver le lieu géométrique des points C dont les segments (en pointillés) menés de ce point C à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux,
ici CB × CF = CD × CH.

Dans le livre premier, Descartes exprime les longueurs des segments en fonction de deux inconnues x et y pour aboutir à la conclusion du bas ce chapitre : « les quantités x et y qui se trouvent n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ».

Pour cette figure, ce n'est que dans le livre second qu'il fera le calcul des équations des coniques solutions.

Comment on doit poser les termes pour venir à l'équation en cet exemple.

Premièrement, je suppose la chose comme déjà faite, et pour me démêler de la confusion de toutes ces lignes je considère l'une des données, et l'une de celles qu'il faut trouver, par exemple AB et CE, comme les principales et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres.

Texte fondamental, où Descartes introduit, tout naturellement, les coordonnées x et y. Coordonnées dans un repère d'origine A, d'axes (AG) et la parallèle à RB,
avec x = AB et y = BC.

Que le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit nommé x ; et que BC soit nommé y ; et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusqu'à ce qu'elles coupent ces deux aussi prolongées, s'il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles ; comme vous voyez ici qu'elles coupent la ligne AB aux points A, E, G, et BC aux points R, S, T.

Puis à cause que tous les angles du triangle ARB sont donnés, la proportion qui est entre les côtés AB et BR est aussi donnée, et je la pose comme de z à b, de façon que AB étant x, RB sera bx/z, et la toute CR sera y + bx/z à cause que le point B tombe entre C et R ; car si R tombait entre C et B, CR serait y - bx/z ; et si C tombait entre B et R, CR serait -y + bx/z.

Tout de même les trois angles du triangle DRC sont donnés, et par conséquent aussi la proportion qui est entre les côtés CR et CD, que je pose comme de z à c, de façon que CR étant y + bx/z,

la Geometrie de Descartes - probleme de Pappus - page 310

CD sera cy/z + bcx/z².

Après cela, pourceque (locution synonyme de parce que, utilisée par Descartes pour marquer la raison, la cause) les lignes AB, AD et EF sont données par position (droite donnée par position : droite parallèle à une direction – position – donnée), la distance qui est entre les points A et E est aussi donnée, et si on la nomme k, on aura EB égal à k + x ; mais ce serait k - x si le point B tombait entre E et A ; et – k + x si E tombait entre A et B.

Et pourceque les angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de BE à BS est aussi donnée, et je la pose comme de z à d, si bien que BS est (dk+dx)/z, et la toute CS est (zy+dk+dx)/z ; mais ce serait (zy-dk-dx)/z si le point S tombait entre B et C ; et ce serait (-zy+dk+dx)/z si C tombait entre B et S.

De plus les trois angles du triangle FSC sont donnés, et ensuite la

la Geometrie de Descartes - probleme de Pappus - figure 6 - page 311

proportion de CS à CF, qui soit comme de z à e, et la toute CF sera (ezy+dek=dex)/z².

En même façon AG, que je nomme l, est donnée, et BG est l - x et à cause du triangle BGT, la proportion de BG à BT est aussi donnée, qui soit comme de z à f, et BT sera (fl-fx)/z, et CT = (zy+fl-fx)/z.
Puis derechef la proportion de CT à CH est donnée à cause du triangle TCH, et la posant comme de z à g, on aura CH = g(zy+fl-fx)/z².

Et ainsi vous voyez qu'en tel nombre de lignes données par position qu'on puisse avoir toutes les lignes tirées dessus du point C à angles donnés, suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par trois termes, dont l'un est composé de la quantité inconnue y, multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et l'autre de la quantité inconnue x, aussi multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et le troisième d'une quantité toute connue ; excepté seulement si elles sont parallèles, ou bien à la ligne AB, auquel cas le terme composé de la quantité x sera nul ; ou bien à la ligne CB, auquel cas celui qui est composé de la quantité y sera nul ; ainsi qu'il est trop manifeste pour que je m'arrête à l'expliquer.

Et pour les signes + et - qui se joignent à ces termes, ils peuvent être changés en toutes les façons imaginables.

Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l'une par l'autre, les quantités x et y qui se trouvent dans le produit n'y peuvent avoir que chacune autant de dimensions qu'il y a eu de lignes à l'explication desquelles

la Geometrie de Descartes - probleme de Pappus - page 312

elles servent, qui ont été ainsi multipliées ; en sorte qu'elles n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ; ni plus de trois, en ce qui ne sera produit que pair la multiplication de trois, et ainsi à l'infini.

Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu'il n'est point proposé en plus de cinq lignes

De plus, à cause que pour déterminer le point C, il n'y a qu'une seule condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multiplication d'un certain nombre de ces lignes soit égal, ou, ce qui n'est de rien plus malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication des autres ;

on peut prendre à discrétion l'une des deux quantités inconnues x ou y, et chercher l'autre par cette équation, en laquelle il est évident que, lorsque la question n'est point posée en plus de cinq lignes, la quantité x, qui ne sert point à l'expression de la première, peut toujours n'y avoir que deux dimensions ; de façon que, prenant une quantité connue pour y, il ne restera que x2 = + ou - ax + ou - b2 ; et ainsi on pourra trouver la quantité x avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée.

Ici, une des découvertes fondamentales de Descartes, et vraiment novatrice : la notion de fonction :

Même, prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi on aura une infinité de divers points, tels que celui qui est marqué C, par le moyen desquels on décrira la ligne courbe demandée.

Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand nombre de lignes, s'il y en a entre les données qui soient parallèles à BA ou BC, que l'une des deux quantités x ou y n'ait que deux dimensions en…

la Geometrie de Descartes - probleme de Pappus - page 313

2. Géométrie cartésienne - Repère

Un lieu de Pappus « à quatre droites » est l'ensemble des points C tel que CB × CF = CD × CH.
En liaison avec la notion moderne de « distance d'un point à une droite donnée par son équation »,
Descartes calcule CB = y, CF = ax + by + c, CD = dx + ey et CH = fx + gy + h.

La relation donne une équation du second degré y × (ax + by + c) = (dx + ey) × (fx + gy + h) qui est celle d'une conique.

(Voir la note sur le Problème de Pappus de Paul Tannery.)

Utiliser un repére d'origine A, l'axe des abscisses étant la droite horizontale (AG) ; l'axe des ordonnées dans la direction BC faisant un angle de 60° avec l'horizontale, orienté vers le bas.

Sur la droite horizontale G est placé à 5 cm : l = AG = 5 et E à 3 cm : k = EA = 3.
Le point variable C est repéré par ses coordonnées x et y telles que AB = x et BC = y.
Les paramètres b à g indiquent les proportions des côtés des triangles déterminés par les angles de la figure.

Par exemple, dans le triangle ARB on a AB/BR = z/b d'où BR/AB = b/z. La variable z est introduite pour respecter la règle des homogènes de Viète.
Dans les calculs s'en affranchir en choisissant z = 1. Dans les exemples choisir un triangle où b = 1.

La droite (ES) fait un angle de 30° avec l'horizontale : on a d = d = BS/BE = 1/2 = 1/2.
Dans l'autre sens la droite (GT) fait un angle de 30° avec l'horizontale : le triangle BGT a donc deux angles de 30°. Soit le paramètre f = BT/BG = 1.

Cas général

la Geometrie de Descartes - repere de base du probleme de PappusLes figures seront faites avec les valeurs par défaut des paramètres suivantes :
z = 1 ; b = 1 ; d = 1/2 ; f = 1 ; k = 3 et l = 5.

Les calculs des longueurs en fonction des coordonnées x et y sont donc :
CB = y,
CF = e CS = e(y + dk + dx) = e(y + 3/2 + x/2),
CD = c CR = c (y + bx) = c (y + x),
CH= g CT = g (y + fl fx) = g (y + 5 - x).

De l'égalité CB × CF = CD × CH se déduit l'équation :
e y (y + 3/2 + x/2) = c g (y + x) (y + 5 - x).

On trouve bien l'équation du second degré d'une conique :

cg x2 + e/2 xy + (e - cg) y2 - 5 cg x + (3/2e - 5 cg) y = 0.

Descartes trouve l'équation fonctionnelle y = m - n/z x + rac(m² + ox+ px²/m).
Dans son repère, y est égal à BC ; longueur qu'il décompose en trois parties BK, KL et LC : il place sur (BC) les points K tel que BK = m et L tel que KL = nx, LC est alors égal à rac(m² + ox+ px²/m).

Il complète la construction avec IK parallèle et égal à AB.

Le paramètre a est défini par la proportion KL/IL = n/a, soit IL = ax.

Si la conique n'est pas une parabole, son centre M est situé sur la droite (IL) tel que : IM = aom/(2p).
La droite (IL) coupe la conique en N.

La moitié du rayon traversant est alors MN = am/(2p)rac(o²+4mp).

L'excentricité est égale à e²/16 - cg(e - cg). Si elle positive il s'agit d'une hyperbole, si elle nulle d'une parabole et enfin d'une ellipse si elle est négative.

Nouveaux repères

Cliquer sur la figure, saisir le point C avec la souris et visualiser ses coordonnées C(xC,yC) dans le repère oblique de Descartes et C(XC,YC) dans repère orthornormé.

Le point C(x, y) de coordonnées x et y dans le repère de Descartes est tel que vec(AC) = x vec(i) + y vec(j)

Dans un repère orthonormé direct d'origine A ce même point C(X, Y) de nouvelles coordonnées X et Y vérifie la relation vec(AC) = X vec(i) + Yvec(J)
avec vec(j) = 1/2 vec(i) - rac(3)/2 vec(J),

d'où vec(J) = 1/rac(3)vec(i) - 2/rac(3)vec(j).

Les expressions du vecteur vec(AC) sont dans l'ancien et le nouveau repère :
vec(AC) = x vec(i) + y vec(j) = x vec(i) + y(1/2 vec(i) - rac(3)/2 vec(J)) = (x + 1/2y) vec(i) - rac(3)/2 vec(J),

vec(AC) = X vec(i) + Y vec(J) = X vec(i) + Y(1/rac(3)vec(i) - 2/rac(3) vec(j)) = (X + 1/rac(3)Y) vec(i) - 2/rac(3)Y vec(j).

en identifiant les coordonnées on obtient le changement de variable :
x=X+Y/rac(3); y= (2/rac(3))Y.

L'équation de la conique dans le repère orthonormé direct d'origine A est  :

cg X2 + (2cg-e)/rac(3) XY + (e -cg) Y2 - 5 cg X + (5 cg – 3e) Y/rac(3) = 0.

Cette conique passe par les quatre points A, G, P et Q d'intersection des droites données.
P et Q de coordonnées P(7/3, -8/3) et Q(3, – 3) dans le repère oblique s'écrivent P(1, 4rac(3)/3) et Q(3/2, 3rac(3)/2) dans le repère orthonormé.

Axes principaux

Un deuxième changement de repère permet d'obtenir l'équation par rapport aux directions principales.

Les deux axes AX’ et AY’ de la conique forment le repère (A, vect(I)’, vec(J)’) faisant un angle α avec les axes AX et AY du repère précédent.

Les directions de la conique sont donc :
vect(I)’ = vec(i) cos α + vec(J) sin α,

vec(J)’ = − vec(i) sin α + vec(J) cos α.

Les expressions du vecteur vec(AC) sont dans les repères orthonormés :
vec(AC) = X vec(i) + Yvec(J)
vec(AC) = X’vect(I)’ + Y’vec(J)’ = X’(vec(i) cos α + vec(J)sin α) + Y’(- vec(i) sin α + vec(J)cos α)

Par identification, on trouve :
X = X'cos α - Y' sin α ; Y= X' sin α + Y' cos α.

Les axes sont les directions principales si le coefficient du produit X’Y’ est nul.

Les termes de second degré sont : cg X2 + (2cg-e)/rac(3) XY + (e - cg) Y2.

Avec les nouvelles variables on a alors :
cg (X’cos α - Y’sin α)2 + (2cg-e)/rac(3) (X’cos α - Y’sin α)(X’ sin α + Y’cos α) + (e – cg) (X’sin α + Y’ cos α)2

Le coefficient de X’Y’ est :
  – 2cgcos α sin α + (2cg-e)/rac(3)(cos2α – sin2α) + (e – cg) sin α cos α =

(2cg-e)/rac(3)(cos2 α - sin2 α - 2 rac(3) sin α cos α) = (2cg-e)/(rac(3) cos²α)(1 - tan2α - 2rac(3) tan α).

Ce coefficient est nul si tan α est égal à 2 - rac(3) ou à - 2 - rac(3), ce qui correspond à des angles de 15° et de -75°.

Choisir α = 15°. Le calcul des fonctions trigonométriques permet d'obtenir le changement de variable :

X = X'cos α - Y' sin α ; Y= X' sin α + Y' cos α

3. Cercle

Cliquer sur la figure, saisir le point C et le déplacer sur l'arc de cercle

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebraTube : cercle solution du problème de Pappus

En plus des valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d = 1/2 ; f = 1 ; k = 3 et l = 5, prendre comme exemple les paramètres c = 3/2, e = 2 et g = 2/3.

On a alors CF = e CS = 2(y+3/2+x/2) = 2y + 3 + x et c g = 1,
l'égalité CB × CF = CD × CH donne : y (2y + 3 + x) = (y + x) (y + 5 - x).

d'où l'équation x2 + xy + y2 – 5x - 2y = 0.

y2 + xy - 2y est le début du carré de (y + 1/2 x - 1).

L'équation peut alors s'écrire : (y + 1/2 x - 1)2 + 3/4 x2 - 4x - 1 = 0.

D'où (y + 1/2 x - 1)2 = − 3/4 x2 + 4x + 1

y + 1/2 x - 1 = ± rac(-3/4 x² + 4x + 1).

on a finalement l'expression fonctionnelle de Descartes :
y = 1 - 1/2 x ± rac(-3/4 x² + 4x + 1)

Par identification on a les quatre paramètres m = 1, o = 4, p = 3/4 et n = 1/2.

la Geometrie de Descartes - cercle solution du probleme de Pappus - figure 9

Descartes place sur (BC) les points K tel que BK = m = 1 et L tel que KL = nx = 1/2 x, puis IK parallèle et égal à AB.

Le triangle ILK est rectangle avec un angle de 30°. n en est le sinus égal à 1/2 ; le cosinus est donc a = rac(3/4) = rac(3)/2.

On trouve IM = aom/(2p) = rac(16/3) et le rayon MN = (aom/(2p))rac(o² + 4mp) = rac(19/3).

Dans le repère orthonormé le changement de coordonnées donne l'équation :
X2 + Y2 - 5X - rac(3)/3 Y = 0
qui est bien l'équation du cercle de centre M(5/2, rac(3)/6) et de rayon rac(19/3).

4. Ellipse

Comme Descartes nous le propose : et on peut facilement examiner tous les autres cas en même sorte.

Commande : déplacer le point C sur l'ellipse avec la souris ou les fléches du clavier.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebraTube : problème de Pappus

Gardons les même s paramètres initiaux que pour le cercle :
valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d = 1/2 ;  f = 1 ; k = 3 et l = 5, paramètres c = 3/2, e = 2 et modifions g = 1.

On a alors : CF = e CS = 2(y+3/2+x/2) = 2y + 3 + x,
l'égalité CB × CF = CD × CH donne : y (2y + 3 + x) = 3/2(y + x) (y + 5 - x).

D'où en multipliant par 2 l'équation : 3x2 + 2xy + y2 - 15x - 9y = 0.
y2 + 2xy - 9y est le début du carré de (y + x - 9/2).

L'équation peut alors s'écrire : (y + x - 9/2)2 + 2x2 - 6x - 81/4 = 0.

d'où l'expression y = 9/2- x ± rac(81/4 + 6x - 2x²).

Par identification on a les quatre paramètres : m = 9/2, o = 6, p = 9 et n =1.

Placer sur (BC) les points K tel que BK = m = 9/2et L tel que KL = nx = x, puis tracer le segment IK parallèle et égal à AB.

Le triangle ILK est ici équilatéral et le paramètre a est égal à 1.

Le centre M de l'ellipse est situé sur la droite (IL) tel que IM = aom/(2p) = 3/2.

La droite (IL) coupe la conique en N et N’.

La moitié du rayon traversant est alors MN = (aom/(2p))rac(o² + 4mp) = 3rac(22)/4.

 

Dans le repère orthonormé le changement de variables donne l'équation :

3X2 + 2rac(3)/3XY + Y2 - 15 X + rac(3) Y = 0.

On trouve alors (Y + rac(3)/3X + rac(3)/2)2 + 8/3 x² - 16 x - 3/4 = 0,

d'où les équations Y = − rac(3)/3X - rac(3)/2± rac(8/3 x² + 16 x + 3/4).

Dans ce repère les coordonnées de M et I sont M(3, - 2rac(3)/3) et I(9/4,- 9 rac(3)/4).

Dans le repère ayant comme directions les axes principaux l'ellipse a pour équation :
équation

ce que l'on peut réduire sous la forme : équation réduite.

X’M et Y’M sont les coordonnées du centre M de l'ellipse :
coordonnées de M.

Les rayons A et B de l'ellipse obtenus à partir de l'équation : équation réduite de l'ellipse.

Ils sont donc égaux à :
A = rayon A ≈ 5,411
B = rayon B ≈ 2,8.

5. Hyperbole

Commande GéoPlan : cliquer dans la figure et déplacer le point C sur l'hyperbole
avec la souris ou les flèches du clavier, le point B doit rester à droite de A
.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebraTube : problème de Pappus

Valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d = 1/2 ; f = 1 ; k = 3 et l = 5, paramètres c = 3/2, e = 1, et g = 2 donc le point F est en S.

On a alors cg = 3.

Le segment CF mesure CF = (y+3/2+x/2),

l'égalité CB × CF = CD × CH donne : y (y+3/2+x/2) = 3/2(y + x) × 2 (y + 5 - x).

D'où l'équation 3x2 + 1/2 xy- 2 y2 - 15x - 27/2y = 0.

En divisant par 2, on obtient y2 - 1/4xy + 27/4y = 3/2x2 - 15/2x ; qui est le début du carré de (y - 1/8x + 27/8).

L'équation peut alors s'écrire : (y - 1/8x + 27/8)2 = 97/64x2 - 267/32x + 729/64,

d'où l'expression : y = 1/8x - 27/8±rac(729/64 - 267/32 x + 97/64 x²).

Par identification on a les quatre paramètres : m = − 1/8, o = − 267/32, p = 2619/512et n = − 1/8.

Placer sur (BC) les points K tel que BK = −m = 27/8et L tel que KL = nx = 27/8x, puis tracer le segment IK parallèle et égal à AB.

Dans le triangle ILK le paramètre a est égal à 1,068.

Le centre M de la conique est situé sur la droite (IL) tel que IM = aom/(2p) ≈ 2,939.

La droite (IL) coupe l'hyperbole en N et N’.

La moitié du rayon traversant est alors MN = (aom/(2p))rac(o² + 4mp) ≈ 0,264.

Dans le repère orthonormé le changement de variables donne l'équation :

3X2 + 5rac(3)/3 XY - 2Y2 - 15X + 4 rac(3) Y = 0.

En divisant par 2, on trouve : (Y - 5rac(3)/12X - rac(3))2 = 97/48 X² - 5X + 3,

d'où les équations Y = 5rac(3)/12X + rac(3) ± rac(97/48 X² - 5X + 3).

on peut remarquer une erreur de directions principales dans le dessin de l'hyperbole.

 

Dans le repère ayant comme directions les axes principaux l'hyperbole a pour équation :
équation de l'hyperbole.

Que l'on peut réduire sous la forme :
équation réduite.

X’M et Y’M sont les coordonnées du centre M de l'hyperbole :
Coordonnées du centre.

Les rayons A et B de l'hyperbole peuvent être obtenus à partir de l'équation :

équation réduite.

6. Parabole

La conique d'équation :

cg x2 + e/2 xy + (e - cg) y2 - 5 cg x + (3/2e - 5 cg) y = 0

est une parabole si son excentricité e^2/16 - cg (e - cg) est nulle.

En choisissant cg = 1 le paramètre e d'une parabole satisfait à l'équation : e^2/16 - e + 1 = 0
qui admet deux solutions 4(2 + rac(3)) et 4(2 - rac(3)).

Commande : utiliser la souris ou les fléches du clavier pour déplacer le point C sur la parabole.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebraTube : parabole du problème de Pappus

Étudions le cas e = 4(2 - rac(3)) avec les valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d = 1/2 ; f = 1 ; k = 3 et l = 5 ; les autres paramètres étant c =1 et g = 1.

La distance CF est égale à : CF = 4(2 - rac(3)) (y+3/2+x/2) = 2(2 - rac(3)) (2y + 3 + x),

L'égalité CB × CF = CD × CH donne : 2(2 - rac(3)) y (2y + 3 + x) = (y + x) (y + 5 - x).

Le coefficient de y2 est : e - cg = 7 - 4rac(3) = (2 - rac(3))2

D'où l'équation : x2 + 2(2 - rac(3)) xy + (2 - rac(3))2 y2 - 5x + (7 – 6rac(3)) y = 0.

Le développement du début du carré donne : [(2 - rac(3))y + x - (2 + 5rac(3)/2)]2 = (1 - 5rac(3))x + (2 + 5rac(3)/2)2.

(2 - rac(3))y = − x + (2 + 5rac(3)/2) ±rac(ax + b).

en divisant par 2 - rac(3), on obtient :

y = − (2 + rac(3)) x + 23/2 + 7rac(3) ±rac(aX + b)

Par identification on obtient les quatre paramètres : m = 23/2 + 7 rac(3), o = − 53 - 31rac(3) et n = 2 + rac(3).

Placer sur (BC) les points K tel que BK = m et L tel que KL = nx, puis tracer le segment IK parallèle et égal à AB.

Dans le triangle ILK le paramètre a est égal à 3,346.

Dans le repère orthonormé d'origine A le changement de variables donne l'équation :

X2 + 2(2 - rac(3))XY + (7 - 4rac(3))Y2 - 5X + (12 - 19rac(3)/3)Y = 0.

En utilisant le début du carré  :
[(2 - rac(3))Y + X + (5/2 - rac(3)/3)]2 = aX + b,

(2 - rac(3))Y = − X - (5/2 - rac(3)/3) ±rac(aX + b)

Y = (2 + rac(3))[- X + (- 5/2 + rac(3)/3) ±rac(aX + b)]

D'où les équations Y = − (2 + rac(3)) X - 11 rac(3)/6 - 4±rac(aX + b).

 

Dans le repère ayant comme directions les axes principaux, un deuxième changement de repère permet d'obtenir l'équation :

équation de la parabole.

Cette équation peut être réduite sous la forme

équation de la parabole

Si X’M et Y’M sont les coordonnées du sommet M de la parabole, l'équation de la conique est alors :
équation de la parabole

avec Coordonnées de M

7. Conclusion de Descartes

La Geometrie de Descartes - cercle solution du probleme de Pappus - page 334

la Geometrie de Descartes - probleme de Pappus - page 335

Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver

Au reste, à cause que les équations qui ne montent que jusqu'au carré sont toutes comprises en ce que je viens d'expliquer ; non seulement le problème des Anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé, mais aussi tout ce qui appartient à ce qu'ils nommoient la composition des lieux solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu'ils sont compris dans les solides car ces lieux ne sont autre chose, sinon que, lorsqu'il est question de trouver quelque point auquel il manque une condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple, tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé.

Et si cette ligne est droite ou circulaire on la nomme un lieu plan. Mais si c'est une parabole, une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme lieu solide.
Et toutefois et quand cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelques-unes de celles que je viens de résoudre.

Table des matières

La Géométrie - livre premier

Glossaire

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Page no 23, réalisée le 9/11/2002 - mise à jour le 14/7/2003