René DescartesDescartes et les Mathématiques

Sections planes d'un cube

La géométrie dans l'espace dans l'ancienne 1ère S

Sur tablette ou smartphone, cette page lance automatiquement la version GeoGebra 3D

Triangle, quadrilatère, pentagone et hexagone comme sections planes d'un cube.

Intersection d'un plan avec les faces du cube

1. Sections planes d'un cube

2. Constructions de sections par des plans variables

3. Variation de la section par un plan variable

4. Un sommet et deux points sur les arêtes

5.a. Trois points sur des arêtes concourantes

5.b. Trois points sur des arêtes non concourantes

6. Trois points sur des arêtes disjointes

7. Deux points sur 2 arêtes et un troisième sur une face

8. Trois points sur 3 faces d'un cube

Sections planes du cube dans d'autres pages du site

Cube en troisième

Cube en seconde

Icône GéoSpace Cube en terminale

Icône GéoSpace Plan et droite orthogonaux dans le cube, à l'épreuve pratique de TS

Icône GéoSpace Problème de Bergson à l'épreuve pratique de TS

Section d'un cube par un déterminé par trois points situés sur le cube

Sections planes : avec GéoSpace il est facile de créer la section d'un cube par un plan passant par trois points.

Lorsque l'on s'intéresse uniquement au résultat, il est possible de créer facilement la section, par le plan passant par les trois points, avec le menu
Ligne>Polygone convexe>Section d'un polyèdre par un plan.
Dans ce cas, les sommets de la section ne sont pas nommés, donc non réutilisables.

Géométrie pratique

  • Une solution non conformiste, piochée de-ci, de-là dans l'exercice 497-3 de l'APM, consiste à marquer les trois points sur un cube et de le plonger délicatement dans un bain de teinture colorée.
    En retirant le cube, la section apparaît.
  • Une autre solution consiste à remplir d'eau un bidon en plexiglas transparent que l'on a percé à l'emplacement des trois points.
    En inclinant le bidon, de telle façon que l'eau sorte par les trois trous, le niveau d'eau donne la section.
  • Une dernière solution consiste à traverser ce cube, en plexiglas transparent, par un balayage de rayons laser passant par les trois points.

En général, dans les exercices ci-dessous nous décrivons la construction point par point des sections, en explicitant les divers cas particuliers.

1. Sections d'un cube par un plan déterminé par trois points situés sur les arêtes

geometrie dans l'espace - cube - copyright Patrice Debart 2002

1.a. Ouvrir le fichier GéoSpace « cube.g3w ». ABCDEFGH est un cube.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebraTube : cube,   cube en fil de fer

1.b. Créer les points variables M, N et P sur les arêtes respectives [FB], [FG] et [EF], concourantes au même sommet F.

Menu créer de GéoPlan

 

Menu point libre

1.c. Créer la section du cube par le plan (MNP).

menu créer la section du cube

 

menu section polyèdre

On pourra hachurer en couleur la section obtenue (utiliser la boîte de style boîte de style GéoSpace).

 

Suite à la demande de Mathieu : Coupe d'un cube par un plan les membres du site bouge pour la planète ont soumis des ressources au vote.

Ci-contre voici la photo plébiscitée par la communauté bougepourtaplanete.fr en 2014 pour Coupe d'un cube par un plan

Plan déterminé par trois points sur trois arêtes concourantes

geometrie dans l'espace - section d'un cube - copyright Patrice Debart 2002

1.d. Déplacer (clic gauche sur la souris) les points M, N et P et observer la section obtenue.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : triangle comme section plane du cube

Retrouver cette figure :

Coupe d'un cube par un plan

Voir l'intersection du plan (MNP) avec les six faces du cube

Deux points sur deux arêtes concourantes et un troisième

geometrie dans l'espace - pentagone comme section de cube - copyright Patrice Debart 2002

1.e. Modifier le point N pour qu'il se déplace maintenant sur l'arête [DC],
   créer la section du cube par le plan (MNP),
  déplacer les points M, N et P et observer les diverses sections obtenues :
si ces points ne sont pas des sommets du cube, on trouve des pentagones ou hexagones ayant deux ou trois paires de côtés parallèles.

menu dupliquer     dupliquer un objet

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : sections d'un cube déterminées par trois points

Trois points sur des arêtes disjointes dans les trois directions

geometrie dans l'espace - hexagone comme section de cube - copyright Patrice Debart 2002

1.f. Modifier maintenant le point P pour qu'il se déplace sur l'arête [AE],
    créer la section du cube par le plan (MNP),
    déplacer les points M, N et P et observer les diverses sections obtenues:

Si ces points ne sont pas des sommets du cube, on trouve des hexagones ayant des côtés deux à deux parallèles.
Lorsque M, N et P sont les milieux des côtés, on a l'hexagone régulier de Bergson.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : hexagone comme section d'un cube

2. Constructions de diverses sections par des plans parallèles

Triangle BMN et section par le plan parallèle passant par le sommet A

geometrie dans l'espace - sections de cube - copyright Patrice Debart 2002

M est le milieu de [EF], N est le milieu de [FG].
Le triangle BMN est la section du cube avec le plan (BMN).

On mène par A le plan (P) parallèle au plan (BMN).
Construire la section du cube avec le plan (P).

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebraTube : section d'un cube par un plan variable

Triangle équilatéral BDE et section par un plan parallèle passant par un point M

geometrie dans l'espace - sections de cube par un plan variable - copyright Patrice Debart 2002

Construire le triangle BDE, section du cube avec le plan (BDE).

Soit M le point de la diagonale [EG],
tel que EM = 1/3 EG.
Trouver l'intersection du cube avec le plan parallèle au plan (BDE) passant par M.

  - Généralisation à un plan parallèle au plan (BDE) passant par un point M variable sur [EG],

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebraTube : section d'un cube parallèle à trois diagonales

« L'utilisation de l'informatique permet une vision dynamique de la figure. GéoSpace permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé de face permet de voir les sections planes en “vraie grandeur”.
Les commandes “dessin en bloc” facilitent la présentation par le professeur avec un rétroprojecteur. »

3. Variation de la section par un plan perpendiculaire à une diagonale

Trouver l'intersection d'un cube ABCDEFGH avec le plan parallèle à (BDE) passant par un point M variable sur la diagonale (EG) du carré EFGH.

Hexagone

geometrie dans l'espace - sections de cube par un plan variable - copyright Patrice Debart 2002

Si EM = EG/4, voir l'hexagone régulier du problème de Bergson à l'épreuve pratique de TS

geometrie dans l'espace - hexagone comme section de cube - copyright Patrice Debart 2002

Plan (BDE) de face

Triangle

geometrie dans l'espace - triangle comme section de cube - copyright Patrice Debart 2002

Lorsque le point M se déplace, il défile une succession de triangles, hexagones puis triangles.

En orientant différemment le plan sécant, on peut obtenir le défilement d'une succession de polygones : triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, pentagone, quadrilatère, triangle.
Les métamorphoses d'un type au type suivant ayant lieu lorsqu'un sommet du cube traverse le plan variable.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebraTube : section variable d'un cube

      hexagone de Bergson comme section plane du cube

Voir : GéoSpace en 3e : sections planes d'un cube

Étude du plan BDE : produit scalaire


4.a. Parallélogramme comme section d'un cube

geometrie dans l'espace - parallelogrammr section plane du cube - copyright Patrice Debart 2009

ABCDEFGH est un cube de côté 4 cm. I est le milieu de la face BCGF et J celui de EFGH.

2.a. Calculer la longueur AI.

2.b. Trouver les traces du plan (AIJ) sur le cube.

Indications

Calcul de AI2

Soit T le milieu de [BC] et a le côté du carré.

Dans triangle rectangle horizontal ABT, avec Pythagore on a :
AT2 = AB2 + BT2 = a2 + a2/4.

Dans triangle rectangle vertical ATI, on a :
AI2 = AT2 + TI2 = (a2 + a2/4) + a2/4 = a2 + a2/2 = 3/2 a2.

Section plane

Trouver le point K intersection de la droite (IJ) et du plan (ABC).

U étant le centre du carré ABCD, en étudiant le plan (UIJ) on remarque que K est le symétrique de U par rapport à (BC).
La droite (AK) coupe (BC) en P sommet de la section plane.
L'intersection de (PI) et de (FG) est le point Q.

De même, la droite (QJ) coupe (EH) en R.

Le parallélogramme APQR est la section plane du plan (AIJ) sur le cube.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : parallélogramme comme section d'un cube

4.b. Trapèze comme section du cube par un plan contenant un sommet

geometrie dans l'espace - trapèze comme section de cube - copyright Patrice Debart 2002

– I et J sont deux points des arêtes concourantes [EF] et [FG] du cube ABCDEFGH.
– Construire la section plane du cube par le plan (AIJ).

Indications

Comme les faces (ABCD) et (EFGH) du cube sont parallèles, le plan (AIJ) coupe le plan (ABC) suivant une parallèle (d) à (IJ).

Trapèze lorsque la section coupe l'arête [BC]

La droite (d) coupe (BC) en K.
Lorsque K est à l'intérieur du segment [BC], [AK] est la trace du plan (AIJ) sur la face (ABCD).

[AI] et [JK] sont alors les deux autres côtés de la section AIJK, qui est un trapèze de bases [AK] et [IJ].

Autre trapèze lorsque la section coupe l'arête [CD]

La droite (d) coupe (CD) en M.
Lorsque M est à l'intérieur du segment [CD], [AM] est la trace du plan (AIJ) sur la face (ABCD).

[AI] et [JM] sont alors les deux autres côtés de la section AIJM, qui est un trapèze de bases [AM] et [IJ].

Voir aussi : autre trapèze comme section par un plan contenant un sommet

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : deux trapèzes comme section plane du cube

5.a. Intersections, avec les prolongements des faces du cube, du plan déterminé par trois points I, J et K sur les arêtes (concourantes en F) d'un cube

geometrie dans l'espace - section de cube - copyright Patrice Debart 2002

I, J et K sont trois points des arêtes [FE], [FG]et [FB] du cube ABCDEFGH.
Trouver l'intersection du plan (IJK) avec les six faces du cube.
Sur chacune des droites d'intersection, on trouvera les quatre points d'intersection avec les prolongements des côtés du carré
.

Tracez les segments [IJ], [JK] et [IK] sur les faces du cube.
La section plane est le triangle IJK.

Trouver la droite (PQ), intersection de (IJK) avec le plan (ABC).

Tracez le point P intersection de (IK) et (AB) et le point Q intersection de (JK) et (BC), puis la droite (PQ), intersection de (IJK) avec le plan (ABC). La droite (PQ) coupe (DA) en R et (DC) en S.
Les points R, Q, P et S sont donc alignés.
Les droites (PQ) et (IJ) sont parallèles.

Trouver la droite (LS), intersection de (IJK) avec le plan (CDH).

Prolongez (IJ) jusqu'à son intersection L avec la droite (HG).
Ce point L est situé dans le plan (CDH). La droite (LS) est l'intersection de (IJK) avec le plan (CDH).
Cette droite (LS) est parallèle à (IK). Elle coupe (DH) en V et (CG) en T.
Les points V, T, L et S sont donc alignés.

Trouver la droite (VR), intersection de (IJK) avec le plan (ADE).

Cette droite coupe le côté (HE) en M situé sur (IJ) et coupe le côté (AE) en U situé sur (IK).
Les points V, U, M et R sont donc alignés.
Les droites (VR) et (JK) sont parallèles.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : prolongement d'une section triangulaire du cube

5.b. Intersections, avec le plan de base d'un cube, du plan déterminé par trois points I, J et K sur les arêtes

(Les trois arêtes ne sont pas concourantes.)

 

geometrie dans l'espace - section de cube - copyright Patrice Debart 2002

Comment construire une section d'un cube par un plan

I et J sont deux points des arêtes concourantes [AD] et [AB] du cube ABCDEFGH.
    K est sur l' arête [CG]
.
Tracer la section plane déterminée par le plan (IJK).
Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (EFG).

Indications

– Tracer le point N, intersection de (IJ) avec le côté (CB), puis le point P intersection de (IJ) avec le côté (CD).
    La droite (KN) coupe le côté [BF] en L et la droite (KP) coupe le côté [DH] en M.
    Le pentagone IJLKM est la section du cube par le plan (IJK).

– Construire le point Q intersection de (KP) avec (GH), puis le point R intersection de (KN) avec (FG).
    L'intersection de (IJK) avec le plan (EFG) est la droite (QR).
    Cette droite est parallèle à (IJ).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : pentagone comme section du cube

5.c. Cas particulier : I et J milieux des côtés

geometrie dans l'espace - section de cube - copyright Patrice Debart 2002

I et J sont les milieux des arêtes concourantes [AB] et [BC] du cube ABCDEFGH.
   K est un point sur l' arête [DH]
.
Tracer la section plane de (IJK) avec le cube.
Étudier l'intersection des plans (IJK) et (ACH).

Indications

– Tracer le point P, intersection de (IJ) avec le côté (AD), puis le point N intersection de (IJ) avec le côté (CD).
La droite (KP) coupe le côté [BF] en M et la droite (KN) coupe le côté [CG] en L.
Le pentagone IJLKM est la section du cube par le plan (IJK).

– La droite (IJ) est parallèle à la diagonale (AC), puisque (IJ) est une droite des milieux du triangle ABC.

La droite (IJ) est incluse dans le plan (IJK) et la droite (AC) est incluse dans le plan (ACH).
Les points T, intersection de [KM] et [AH] et S intersection de [KL] et [CH] sont à l'intersection de ces plans (IJK) et (ACH).
D'après le théorème du toit, la droite (TS), intersection des deux plans, est parallèle aux droites (IJ) et (AC).
Elle est donc parallèle à la face (ABCD).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : section d'un cube et milieux de deux arêtes

6. Intersection, avec le prolongement de la face de base du cube, du plan déterminé par trois points I, J et K sur les arêtes

geometrie dans l'espace - hexagone comme section de cube - copyright Patrice Debart 2002

(Aucune des trois arêtes ne sont concourantes.)

I, J et K sont trois points des arêtes [AD], [EF]et [CG], non concourantes, du cube ABCDEFGH.
– Trouver la section du plan (IJK) sur le cube
.

Exercice assez difficile : il faut utiliser un plan auxiliaire (ICG) pour trouver le point N, aligné avec I et K, situé dans le plan de base (EFG) du cube ; puis terminer la construction comme pour l'exercice précédent.

Indications

– Trouver l'intersection de la droite (IK) avec le plan horizontal (EFG). GéoSpace trouve facilement ce point. Pour une construction géométrique dans le plan auxiliaire vertical (ICG), tracer la parallèle (I’G) à (IC) passant par G. Le point N est à l'intersection de cette parallèle avec (IK).

– Trouver ensuite le point d'intersection L de la droite (NJ) avec l'arête (FG) du cube, puis les points M sur (HE) et R sur (HG), situés sur les prolongements des faces latérales, puis terminer comme ci-dessus en trouvant le point P intersection de (MI) et de (AE), enfin le point Q sur (RK) et (CD).

La section plane IPJLKQ est un hexagone ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : section hexagonale du cube

Cas particulier : I, J et K milieux des côtés, voir l'hexagone régulier du problème de Bergson

7. Intersections, avec les prolongements des faces du cube, du plan déterminé par deux points I, J sur 2 arêtes et un point K sur une des faces

geometrie dans l'espace - pentagone comme section de cube - copyright Patrice Debart 2002

I et J sont deux points des arêtes [AB] et [EH] du cube ABCDEFGH.
K est à l'intérieur de la face (BCGF).
– Trouver les intersections du plan (IJK) avec les faces du cube
.

Indications

– Trouvez la droite d'intersection du plan vertical contenant J et K avec la face ABCD.

Pour cela, tracer les projections J’ et K’ des points J et K sur le plan horizontal.

Les droites (JK) et (J’K’) se coupent en N.

– Tracer les points d'intersection de (IN) avec les côtés (BC) et (AD), et terminer la section plane avec le point P, sachant que (JP) est parallèle à (IN).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : pentagone comme section d'un cube

8. Section plane détermine par trois points I, J et K situés sur les faces d'un cube

geometrie dans l'espace - section de cube - copyright Patrice Debart 2002

Faces ayant un sommet commun F
(Figure restreinte au cas où les points P, Q et R restent sur ces arêtes issues de F.)

I, J et K sont trois points à l'intérieur de 3 faces (ABFE), (BCGF) et (EFGH) du cube ABCDEFGH.
– Trouver les intersections du plan (IJK) avec les faces (BEF), (BFG) et (EFG) du cube
.

Indications

– Tracer le triangle BLM, section plane du cube avec le plan (BIJ). Trouvez la droite d'intersection (LN) du plan (BIJ) avec la face EFGH.

Les deux droites (LN) et (IJ) se coupant en N, point situé dans les plans (IJK) et (EFG).
Montrez que la droite (KN) est l'intersection de ces deux plans. Déduisez-en que sur la droite d'intersection (KN), le point P de l'arête [EF] et le point Q de l'arête [FG] sont deux points du plan (IJK).

– Tracez le troisième point R sur l'arête [BE], en prolongeant les droites (PI) et (QJ).

Les droites (PR) et (RQ) sont les intersections de (BEF) et (EFG) avec le plan (IJK).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebraTube : section plane du cube déterminée par trois points des faces

Table des matières

Dans d'autres pages du site

Icône GeoGebra Ces figures avec GeoGebra 3D

Icône GéoSpaceavec GéoSpace

Icône GéoSpace Activités et cube

Icône GeoGebra Produit scalaire et cube

Tétraèdre

Sections planes d'un tétraèdre

Tétraèdre orthocentrique : tétraèdre en seconde

Barycentre et tétraèdre

Bac S 2014 : optimisation dans un tétraèdre trirectangle

Me contacter

Téléchargement

doc Télécharger espace_1s.doc : ce document au format « .doc »

pdf Télécharger espace_1s.pdf : ce document au format « .pdf »

 Statistiques Orange geospacee visite des pages « espace ».

Page no 18, réalisée le 14/3/2002
mise à jour le 15/4/2013